248 (23)
496 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 3
Zgodnie z określeniem przekształcenia d mamy
*{/--} = £/,-■,*" = t L-mZ~\
n=0 n-m
bowiem = 0 dla n < m, czyli
3T{fn-m} = z-m £ fn-mz-*-m\
n = m
skąd po podstawieniu k = n — m i uwzględnieniu zależności (19.6) wynika wzór (19.13).
Natomiast
m + m} = i fn^Z~n = 2" £ fn + mZ-^m\
n = 0 n = 0
a po podstawieniu & = n + m, otrzymuje się
d{fn+m} = z" £ /*e~* = zm[ £ X /**"*]»
lc - m k = 0 * = 0
skąd wynika wzór (19.14). będący analogonem twierdzenia o transformacie pochodnej dla przekształcenia Laplace‘a.
Przykład 2. Stosując wzór (19.13) i wykorzystując zależność (19.9), znajdujemy
Twierdzenie 3 (o transformacie ciągu sum). Jeżeli d{f„) = F(z\ to
-V<z). (19.15)
0 Z 1
n
Wprowadzając oznaczenie g„ = X A> mamy fn = gn-P„-i> w°bec tego na
* = o
podstawie twierdzeń o liniowości i o ciągu przesuniętym mamy
m} =
a stąd otrzymuje się wzór (19.15)
Przykład 3. Na podstawie wzoru (19.15) otrzymujemy przy wykorzystaniu zależności (19.9)
*{£*}-*{ i*}=rrr*w=:rip-
k=l 4 = 0 z 1 lz— W
Twierdzenie 4 (o różniczkowaniu transformaty). Jeżeli % {/„} = F(*)• t0
(19.16)
dz
f\ df(2)
= “z-
Na podstawie określenia przekształcenia 3t mamy
&{nfn} = I nfnZ~" = ~ZT-{ I te~K)• (1 = 0 UZ u = 0
skąd wynika zależność (19.16).
Przykład 4. Wykorzystując wzór (19.9), znajdujemy na podstawie zależności (19.16)
2) d[ z 1 z(z + l)
(z-1)3
Twierdzenie 5 (o zamianie zmiennej z na az). Jeżeli &{fn} ~ ^(z)> t0 ^a sta^eJ
a ź 0 jest
2r{a-nfn) = F(az). (19.17)
Zgodnie z określeniem przekształcenia 2C mamy
00 00
2{a~'fn} = I a-nfnz-n= X fn(azy\
n=0 n=0
a stąd wynika wzór (19.17).
Teraz podamy dwa twierdzenia graniczne.
Twierdzenie 6a. Jeżeli 2f{fn} = F(z), to
lim F(z)=f0. (19.18)
Z-+ 00
Twierdzenie 6b. Jeżeli istnieje granica lim /„, to
n-* ot>
lim /„ = lim (z-l)F(z). (19.19)
n~* cc 1 <z~* 1
Dowody tych twierdzeń pomijamy. Należy zwrócić uwagę, że z istnienia granicy lim (z-l)F(z) nie wynika istnienie granicy lim /„. Na przykład dla ciągu
1 < *-• 1 n-* oO
o ogólnym wyrazie /„ = (— 1)" nie istnieje granica lim /„, natomiast
n-* oc
1
n = O
Z+ 1
dla |z| > 1 i na podstawie wzoru (19.19) otrzymałoby się błędny wynik
lim (z-l)F(z) = 0.
1<:*1
Twierdzenia te są analogonami twierdzeń granicznych dla przekształceń Laplacea (por. p. 12.2).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
246 (22) 19. ZASTOSOWANIE PRZEKSZTAŁCENIA DYSKRETNEGO19.1. Wiadomości podstawowe W dotychczasowych r
247 (21) 494 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2 Ciąg {/„} jest nazywany oryginałem dyskr
249 (18) 498 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego X Splotem dwóch ciągów {Jn} i {gn} nazywam
250 (18) 500 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2t a następnie dzieląc licznik przez miano
251 (16) 502 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego odstępie At. Jednym z najprostszych sposob
252 (19) 504 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego % Przykład 2. Wyznaczymy napięcia Uh (n =
253 (16) 506 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego $f Dyskretną odpowiedzią impulsową {rn} uk
254 (19) 508 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2 przekształcamy funkcję rg(t) w ciąg impu
285 (14) wm 57 0 22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera Zgodnie z określeniem
Równania stanu - dyskretyzacja modeli Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami
Ćwiczenia grafomotoryczne11 Połącz kolejne kropki. Pokoloruj otrzymany obrazek kredkami. 24 25 23 22
skanuj0006 (111) Ma tu zastosowanie reguła izoprenowa. Zgodnie z tą regułą terpeny mogą być rozpatry
skrypt031 (2) 31 a (2.18) (2.19) Abc 0,1 = i Inl l+ -a v y) Wyrażenie 2.19 można p
skan0043 1002.12. Zastosowanie przekształcenia Laplaco^n Traneformatę Laplace’a można stosować do ro
skanuj0024 2 Statyczna próba rozciągania 23 Rys. 1.19. Maszyna wytrzymałościowa ZD-40 6.
więcej podobnych podstron