257 (16)

514

20. Elementy analizy macierzowej obwodów

przy czym wiersze odpowiadają oczkom niezależnym, a kolumny — gałęziom obwodu o oznaczonych numerach.

Układ m równań liniowo niezależnych otrzymanych dla wszystkich niezależnych oczek obwodu na podstawie II prawa KirchhofTa można przedstawić w postaci macierzowej

BU = 0, (20.4)

przy czym B jest macierzą łączącą oczkową, a U — wektorem napięć gałęziowych. Łatwo sprawdzić, że powyższe równanie macierzowe przedstawia układ m równań o ogólnej postaci

t bjjUj(s) = 0, i= i

gdzie i = 1,2,..., m oraz j = 1,2,..., n. Napięcia występujące w tej sumie mają znak plus, gdy ich zwrot jest zgodny ze zwrotem obiegu, znak minus — gdy ich zwrot jest przeciwny względem zwrotu obiegu, natomiast gałęzie nie występujące w rozpatrywanym oczku są wyeliminowane. Wzór (20.4) przedstawia II prawo Kirchhof-fa w postaci macierzowej.

Przykład 3. Obwód z rys. 20.1 ma 3 oczka oznaczone numerami /, 2, 3. Macierz łącząca oczkowa przybiera postać

	1	2 3	4	5	6
1	1	0 0	-1	-1	0
B = 2	0	0 1	1	0	1
3	0	-1 0	0	1	-1

gdzie z lewej strony macierzy zaznaczono numery oczek, a nad nią— numery gałęzi obwodu. Drugie prawo Kirchhoffa dla rozpatrywanego obwodu przedstawia wzór

U As)'

1 oo-l-l 0' 0 0 1 10 1 0-10 0 1-1

V₂(s)

UAs)

U As) u As) u As)

wobec tego

U_l(s)-UAs)-UAsf		"0"
UAs)+UAs)+UAs)	=	0
.-UAs)+UAs)-UAs).		0

Niech I'As) oznacza prąd oczkowy oczka i; zakładamy przy tym, że zwroty wszystkich prądów Oczkowych są zgodne z ruchem wskazówek zegara. Prądy.

515

^,r

20.2. Prawa Kirchhoffa w postaci macierzowej

oczkowe obwodu przedstawiamy w postaci macierzy kolumnowej

Ilis) .I'js).

zwanej wektorem lub macierzą prądów oczkowych. Prądy gałęziowe w gałęziach zewnętrznych (nie będących wspólnymi dla dwóch oczek) są równe odpowiednim prądom oczkowym pomnożonym przez +1 lub —1. Natomiast prądy w gałęziach wspólnych dla dwóch oczek są równe różnicy odpowiednich prądów Oczkowych.

Wektor prądów gałęziowych I związany jest z wektorem prądów oczkowych I₀za pomocą wzoru

I = B^TI₀, (20.5)

gdzie B^r jest transponowaną macierzą łączącą oczkową obwodu. Wzór (20.5) można traktować jako przekształcenie macierzy prądów oczkowych na macierz prądów gałęziowych; wzór ten nazywa się transformacją oczkową.

Przykład 4. Transformację oczkową dla obwodu z rys. 20.1 podaje wzór

	1	0	o'
W	0	0	-1
/,(*)	0	1	0
U(s)	-1	1	0
/_S(s)	-1	0	1
/«(*)	0	1	-1

a stad

’/,b)
/₂(v)		-li
/₃(S>
/₄(s)		—1\ + /'₂
		— / i +1>
/<•)		l'2-li

«> w prosty sposób można sprawdzić bezpośrednio.

Wzory (20.4) i (20.5) dotyczące H prawa Kirchhoffa w postaci macierzowej i transformacji oczkowej są również prawdziwe dla wartości chwilowych napięć

i prądów.

20.2.4. Zależności między macierzami łączącymi

Do równania Al = 0, przedstawiającego I prawo Kirchhoffa w postaci macierzo-j Wej, podstawiamy I = B⁷1₀ dla transformacji oczkowej; otrzymujemy wówczas