25 (839)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Dla a = 0,01 oraz dla n -1 =5 stopni swobody odczytujemy, że'* = 4,0321 Po podstawieniu do wzoru (1.26) otrzymujemy:

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

0,026 - 4,0321

°’⁷⁰⁴ ;0,026 ₊ 4,0321 °’⁷⁰⁴ %

Po obliczeniu otrzymujemy przedział ufności dla średniej (-1,244; 1,296). Aby oszacować przedział ufności dla wariancji korzystamy z modelu I dla wariancji.

Dane dla próby są następujące: n = 6 więc przy odczytywania z tablic wartości rozkładu chi-kwadrat będziemy przyjmować (n -1) = 5 stopni swobody, odchylenie standardowe wyliczono wcześniej o « s = 0,704.

Aby zapisać przedział ufności, obliczamy c/ oraz c₂ z zależności:

nl 2 \ ^a

P\X ^>c:)=- =

= 0,05

2 2

Stąd C| =1,1455 oraz c₂= 11,0705

p(x² <c,)=l-Hż² ><?,)=^

P(_x^2>c)= 1-f = 0,95

Przedział ufności to: (0,2688;2,5979) - obliczony ze wzoru (1.27).

70/ Pobrano 150 elementową próbą detali elektronicznych. Średni czas bez-usterkowej pracy elementu wynosi 1500 godzin. Na poziomie ufności 0,95 oszacować przedział ufności dla średniej długości pracy elementu jeżeli wiadomo, że średnie odchylenie standardowe długości pracy elementu wynosi <j = 3 Oh.

Rozwiązanie:

Zastosujemy model III dla średniej. Dane dla próby: n = 150; cr= 30h\

1 - a = 0,95 czyli a = 0,05; A' = 1500 . Obliczamy p_az zależności:

P(jt/|>^)=0,05; P(U<_K)= 0,975; F(p_a) = 0,975; ^,=1,96

Ostatecznie przedział ufności dla średniej zgodnie z modelem III ma postać:

-J n - \

fn - 1 j

czyli (1495,18; 1504,82).

T (w godz)

-0.3)

<3.6)

-6,9)

<9,12)

<12.15)

N uczniów

71/ Wylosowano próbą 200 uczniów liceum aby oszacować średni czas po-świącony tygodniowo na nauką. Otrzymane wyniki widoczne są w tabeli 36. Tabela 36.

Na poziomie ufności 0,9 oszacować średni czas nauki uczniów.

Rozwiązanie:

Model III. Do obliczenia średniej oraz wariancji wykorzystamy wzory (1.19) oraz (1.21) dla danych pogrupowanych. Dane dla próby przy jmiemy następujące: n =200; k = 5; Xj_S€ {1,5; 4,5; 7,5; 10,5; 13,5 }; nj = { 7, 51, 55, 82, 5}

x=i Ż*«"/=i Ź ^x°ⁿ' =⁷’⁹⁰⁵

n ZUO _/=|

n ,_=l

S² = - £ (*,, - X J n, = 7,98 -► 5 = 2,82

P{U < ^₀)= l-~ = 1-0,05 =0,95; ^ = 1,65.

s -

-Jn- 1,

yjn- 1

Końce przedziału ufności wyznaczamy ze wzoru: \X-m_c

Ostatecznie przedział ufności ma postać:

(7,575; 8,235).

Napięcie	<0,1)	<1,23	<2,3)	<3,4)	<4,5)	<5.6)	<*,7)	<7,8)	<8,9)
Dość	0	2	5	9	13	15	11	8	2

Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego napięcia na poziomie ufności 0,98.

72/ Podczas pomiarów napięcia otrzymano wyniki przedstawione w tabeli 37: Tabela 37.

Rozwiązanie:

Dla obliczeń przyjmujemy następujące parametry : n = 66; k = 10; x_is e { 0,5;

1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5}. Średnią oraz wariancję obliczymy ze wzorów (1.19) oraz (1.21).

x = ^ S x_un, = 5,24; S² = ± £ (*. - Xfn, = 3,009 ^ 5 = 1,734

OO /-i OO |«|

Obliczone parametry wstawiamy do wzoru:

Obliczamy :

P<\U\> fi«)= <* =0,02; P(U<n_a)= l-y=0,99; ^„=2,33

Ostatecznie po podstawieniu wartości do (1.29) otrzymujemy przedział ufności: (1,441; 2,176).

73/ Odchylenie standardowe błędu jednego wysokościomierza w samolocie wynosi a = 2Om. Ile takich przyrządów należy mieć w samolocie aby z praw-

-49-

25 (839)

25 (839)

p(x2 <c,)=l-Hż2 ><?,)=^

x=i Ż*«"/=i Ź x°n' =7’905

p(x² <c,)=l-Hż² ><?,)=^

x=i Ż*«"/=i Ź ^x°ⁿ' =⁷’⁹⁰⁵