264 (9)

1 O. Fnnkci* poi » go

wykładniczo I logorytmici

P°fęgowej d)

10.1.2. Definicja, wykres i własności funkcji

a) Funkcja potęgowa (argument jest w potędze) to funkcja postaci:

-v — v = x\ gdzie r e H

Na przykład y = -v . y — x ⁵. y — -v

b) Dziedzina ( D_f ) funkcji potęgowej zależy od wartości wykładnika /:

(1) (r e /V_#) w (D_f = R\ na przykład y — x\ D_f — R

(2) (r € C*\Af*) -*(£>,= J?\{0}). na przykład y = x~*= -Jy; D_/= J?\{o}

(3) [/ e (Q_t\C)] =» (/>,= {O}), na przykład y = -v^ = ,/a; £>_r = /?_+u {o}

(4) [r e (Q_\C')J — (£>/=«,), na przykład y = z^- « = —J=-; D_f= R^

(5) (r e (>*) =* ( D_f — R+ )» na przykład y = x , D_f = /?₊

Uwaga: FUnkcje /(x) = x* i g(r) = dla /i — 2k A* e są równe, bo: x~" = n/x a D = d = r

dla * = 2* — I Al € N,\{ 1} są one różne, bo mają różne dziedziny: D_f = /?₊ u {O} ^ r- _D“ ^+U •*«

c) Ogólne własności funkcji potęgowych y = x\ t G R (1) monotoniczność

f < o	r^r«0	/ > O
f y = v') \ dla je € (0; +oo)	(y = jc°= l) dla a* €= /?\{0}	(y = x') /* dla x e (O; +»)

(3) funkcje potęgowe nie są okresowe d) Przykłady:

(1) równanie potęgowe: a*"⁵" = 4; D_r= /?₄U {o}, x = 64 (równanie kwadratowe wD)

x,= 8G/?,U {O}

X₂ =—S^ R^ U {O}

Odp. x == 8

(2) nierówność potęgowa: .v'‘< x~²; D_w= /?\{o}

jc ^ —f (nierówność wymierna) x

x (a - I) < O

Odp. x G (—oo; O) U (O; 1 \