Vl/jp

Uwaga 1.

. tlcOUL + O**- ^C'^te(/l! fi

*« <f V c^l <T

Po wprowadzeniu współrzędnych biegunowych: x=rcos(p, y=rsin(p, otrzymamy równość:

JJf(x, y)dxdy = Jjf (r cos cp, r sincp) - rdrdcp

D    A

^    ^ o, ^CoĄ<. Ci t, j>Gx Kf ^C /«/<- 2«t'-€vx, ^ sr_c i CL

Jeżeli f(x,y)=1, to ^dxdy = |Z)| = ^J{u,v)\dudv.    ^?    <««_vcS(

Przykład 1.

rr dxdy

Obliczyć całkę: JJ-" ~_{2    2} ,

d i + x + y

gdzie D={(x,y)e^t²: x²+y² <1 i y> 0}. Przykład 2.

Obliczyć całkę: JJydxdy _j

D

gdzie D={(x,y)e5t²: x²+y² -2x <0 i y< 0}. Przykład 3.

Obliczyć całkę: J{

dxdy

^D (x² +y²)^/2 ’

gdzie D={(x,y)e5t²: x²+y²<1, y>x, x+y>1}.

1) 4

Przykład 4.

Obliczyć całkę: Jj*xydxdy _i gdzie obszar D

D

jest ograniczony krzywymi o równaniach: y² = x, y² = 4x, x² =2y, x² = 8y.

Przykład 5.

Wprowadzając uogólnione współrzędne

fx = ar cos ę,

biegunowe: i ,

[y = brsirup,

obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach:

z = x2 + y2 _z = 16 - x2    2    ₊    ,

4    9

x - y (f

I Y -

~y a

"f

Y

(i r ; d Cf

ir 1

2 -

0 d

/

V

err

dodawać ^ d.y cCfy

U 2

i

i

Jl lm

i«

u

Ul

z)

x * f~ x*ś-Q ; y/o

X = v cos ff I - y $ui ^

30

3 =

P sr %

r^z=Z    -> r

Si

A :

MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki

^ o L ■'rą. Cj -M ( _e    £,-r<?> i /( d

<    C <ii ć 1    °)C    -?£<&/ ckffł c Ulhj