12

Liczby zespolone

Uwaga. Liczby zespolone 0, —z, 1 oraz wprowadzone odpowiednio w punktach

z

3., 4., 7. oraz 8. powyższego faktu, są jedynymi liczbami o żądanych w tych punktach własnościach. Liczby te nazywamy: 0 - elementem neutralnym dodawania, —z - elementem przeciwnym do liczby z, 1 - elementem neutralnym mnożenia

oraz--elementem odwrotnym do liczby z.

z

O Ćwiczenie* 1.1.6

Sprawdzić warunki sformułowane w punktach 1.-9. L'zasadnić stwierdzenia podane w uwadze.

® Definicja 1.1.7 (różnica i iloraz liczb zespolonych)

Niech zi, Z2 E C będą dowolnymi liczbami zespolonymi.

1. Różnicę liczb zespolonych określamy wzorem:

Postać

1. (x\, (

3. (*!,(

Uwaga.

miąć ze

Zl - Z₂ = Zi + (~z₂).

1.2

Rys. 1.1.3. Interpretacja geometryczna różnicy liczb zespolonych.

• Definicja

Liczbę zes]

o Ćwiczenie

Uzasadnić,

M Fakt 1.2.3

Każdą liczh

2. Iloraz liczb zespolonych określamy wzorem:

£i

def

= Zl

Z2

o ile z₂ 0.

Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego 1 geometrycznego itp.

O Ćwiczenie 1.1.8

Obliczyć:

a) (4,-1)-(-3,5); b)    c) M.

y

<§ Fakt 1.1.9 (zbiór liczb rzeczywistych jako podzbiór zbioru liczb zespolonych) Liczby zespolone postaci (x, 0), gdzie sGl, mają następujące własności:

Uwaga. Ter

gebraiczną. postacią alg nie 1 + i(—

® Definicja 1

Niech x + ii

1.    liczbę x zapisujemy

2.    podobnie nej z, co

Liczbę zespolo