54 55 (14)
54
Układy równań liniowych
Z otrzymanej postaci wynika, ze rz A = 2 = rz [/4|/J] = r < n = 4 Oznacza to, ze układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależących od n - r = 2 parametrów
b) Zamieniamy dla wygody kolejność równań układu i przekształcamy jego macierz rozszerzoną do postaci
1 -1
2 2 3 5
-1
-4
3 2
1 i 1
1 0
u/2 ■ 3iv] wj — 3oij
|
1 |
-1 |
-1 |
|
0 |
4 |
1 |
|
0 |
8 |
-1 |
3
-5
-10
2
-3
-6
Stąd otrzymujemy, że rz.4 = 3 = rz [A\B] = r. Jednocześnie n = 4, więc układ równań
rna nieskończenie wiele rozwiązań, a liczba parametrów jest równa n — r = 1.
c) W tym przykładzie mamy n = 3. Stosując wskazane operacje elementarne kolejno
otrzymamy
|
1 |
-3 |
1 |
|
0 |
7 |
-3 |
|
0 |
4 |
1 |
|
1 |
-3 |
1 |
0 1 |
1 |
-3 |
1 |
0 | |
|
2 |
1 |
-1 |
1 |
Wy — 2 W] |
0 |
7 |
-3 |
l |
|
5 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
14 |
-6 |
2 | |
|
1 |
-10 |
4 |
-1 |
™4 - U.J - u., |
0 |
-7 |
3 |
-1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 J |
0 |
4 |
1 |
1 |
A'3= 2 u>2 *4 = -«*2
Zatem re A = 3 = :z [sl|/f] = n. Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie,
d) Równanie ze współczynnikiem 1 przy zmiennej r. znów dla wygody dajemy na początek i przekształcamy macierz rozszerzoną układu
|
Ł—* 1 to to |
-1 1 |
ri —2 i 2 |
-1 ' | |
|
0 113 |
0 |
“'O - 2«*1 |
0 113 |
0 |
|
CO 1 7 T4 |
2 |
— 2um |
0 5-3-7 |
4 |
|
.2313 |
1 . |
0 s 1 |
3 . |
|
u'3 - bu-2 |
1-2 1 2 0 113 |
-1 ' 0 |
- U/3 |
1 -2 1 0 1 1 |
2 3 |
-1 0 | |
|
u.A - 7\j2 |
0 0-8-22 0 0-8 -22 |
4 |
0 0-8 |
-22 |
4 | ||
|
3 J |
0 0 0 |
0 |
-1 J |
Stąd rz A = 3 < 4 = rz [/4|Z?]. Więc rozważany układ równań nie ma rozwiązań.
• Przykład 6.2
Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania układu równań liniowych:
z -ł- 3y + 5z + 7$ + 2t = 6
-z + 4y + 2z -f 7s -f 3* = 1
2x + y + 5z + 4s + 1=3
Rozwiązanie
Skorzystamy z faktu mówiącego, że jeżeli układ równań liniowych z n niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań a jego macierz A ma rząd równy r, to dowolny niezerowy minor macierzy A stopnia r wskazuje nam r zmiennych, które można wyrazić za pomocą n — r pozostałych zmiennych, czyli parametrów. Przeprowadzimy najpierw wstępną analizę macierzy rozszerzonej [,4|#] układu pozwalającą na ustalenie rzędów oraz wyszukanie
55
Szósty tydzień - przykłady
odpowiednich minorów. Mamy
|
1 3 5 7 2 |
6 1 |
1 3 5 7 2 | ||
|
-1 4 2 7 3 |
1 |
u/j + ^1 |
0 7 7 14 5 | |
|
2 15 4 1 |
3 . |
0 -5 -5 -10 -3 | ||
|
'1 3 5 7 2 |
6 ' | |||
|
*•*2 7 |
0 1 1 2 | |
1 | ||
|
4 | ||||
|
0 0 0 0 - |
-4 | |||
6
7
-9
Stąd wynika, że rz/t = 3 = xz[A\B) = r < n = 5. Wyznaczymy teraz wszystkie niezerowe minory stopnia 3 z przekształconej macierzy A. Spośród wszystkich ^ ) =10
minorów stopnia 3 niezerowe są tylko minory zawierające piątą kolumnę. Jest ich 6, mianowicie
|
1 3 2 |
1 5 2 | |
|
5 |
„ 5 | |
|
0 1 - |
° 1 7 | |
|
4 |
4 | |
|
0 0- |
0 0- | |
|
7 |
7 |
|
1 7 2 |
3 5 2 | |
|
5 |
5 | |
|
0 2- |
1 1 - | |
|
7 |
, |
7 |
|
„ 4 |
4 | |
|
0 0- |
0 0- | |
|
7 |
7 |
|
3 7 2 |
5 7 2 | |
|
5 |
5 | |
|
1 2 7 |
V |
1 2 -i |
|
4 |
4 | |
|
0 0- |
0 0- | |
|
7 |
T 1 |
Przyjmując kolejno każdy z tych minorów jako podstawę rozwiązania całego układu równań (tj. układu Cramera z trzema niewiadomymi i dwoma parametrami) widzimy, że parametrami mogą być tylko zmienne pozostające poza minorem, a więc z,s lub y,s lub z lub z, s lub x, z lub też x, p
• Przykład 6.3
Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od
parametru p:
f (2p+l)x + (p-3)y = p+ 1 1 (p + 2)r - 2y = 2p
b)
x + py + 2
2x + y + z
r + y + pz
px + py + pz
a? + py + pz
2: + y + pz
* + y + z
1
P
r
j*
1*
p<
p
p
p
p
Rozwiązanie
Układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera. Każdy przypadek wartości parametru p, dla którego det A = 0 wymaga osobnej analizy zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capcllego.
a) Rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
= -p2 - 3p + 4 = (1 - p)(p -ł- 4) ^ 0,
det A
2p -f 1 p — 3 ; P + 2 -2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
58 59 (14) 58Układy równań liniowych Jeżeli jeden z minorów stopnia 3 macierzy A jest niezerowy, to
54,55 (4) Jak skutecznie negocjować tokiem rozmowy i wychwycić wszystkie niuanse dyskusji. Nic oznac
54,55 (4) jak skutecznie negocjować tokiem rozmowy i wychwycić wszystkie niuanse dyskusji. Nie oznac
WP 140201 4 14 Rozwiązanie Równanie ruchu ma postać: dv _ w— = mg - kv, k>0. dt
52 53 (14) 52Układy równań liniowych a) (56,94,16), (48.67.8J), (29,82,53), (74, 1
Kwasy B (3) 14. 2 p. Napisz równania reakcji otrzymywania: a) kwasu azotovego(V) b) kwasu siark
Układy równań liniowych 1 92 Układy równań liniowych 92 Układy równań liniowych det -4 Liczbę x obli
170 IX. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe Można wykazać ogólnie, że dla dowolnej macierzy A za
Z porównania równań (^12.19) i (l2.3) wynika, że drgania własne belki z uwzględnieniem jej masy możn
Obraz6 (75) Z równań (19), (21) i (22) wynika, że przy t—>oo składowa przejściowa prądu, składow
Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora a względem punktu O nie ulegnie zmianie, gdy wekto
78 79 (15) i oPrzekształcenia liniowe Z rozważań geometrycznych wynika, że £(r,y) -l±l)V2 /’ więcV2
14 Rozwiązanie: Z uwagi, podanej w treści zadania, wynika, że różnica poziomów rtęci w manometrze wy
23879 Obraz6 (75) Z równań (19), (21) i (22) wynika, że przy t—>oo składowa przejściowa prądu, s
DSC00275 (14) Acguis communautairr postanowienia traktatowe ustawodawstwo wynikające ze stosowania&n
Z równania stanu gazu doskonałego wynika, że P Podczas przemiany izobaiycznej stałe jest ciśnienie i
Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora a względem punktu O nie ulegnie zmianie, gdy wekto
23879 Obraz6 (75) Z równań (19), (21) i (22) wynika, że przy t—>oo składowa przejściowa prądu, s
DSCF0768 (2) 14; 4.2 Półprzewodnikowe elementy i układy elektroniczne nego wynika ze zjawiska przewo
więcej podobnych podstron