Liczby zespolone

iednio w punktach mych w tych punk-ralnym dodawania, itralnym mnożenia

Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej    13

1. (xi, 0), + (x₂, 0) = (xi + x₂,0);    2. (x₁, 0) - (x₂,0) = (x₁ - x₂, 0);

3. (Xi, 0) • (ar₂,0) = Oi • x₂, 0);    4.    o') , gdzie x₂ ^ 0.

02) t)}    \*^2 /

dc stwierdzenia po-

Rys. 1.1.4. Zbiór R jest podzbiorem C.

Uwaga. Z własności tych wynika, że zbiór M — {(x, 0) : x E M} można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych M. Będziemy pisali zatem x zamiast (x, 0) .

1.2 Postać algebraiczna I sprzężenie liczby zespolonej

® Definicja 1.2.1 (jednostka urojona)

Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i;

;S(o, i).

:i

]

O Ćwiczenie 1.2.2

Uzasadnić, że liczba i jest rozwiązaniem równania z² + 1=0.

lespolonych.

ęebraicznych (dodawany wisty ch obowiązują rę są wzory skróconego ,zów ciągu arytmetycz-

liczb zespolonych) .jące własności:

H Fakt 1.2.3 (postać algebraiczna liczby zespolonej)

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

z — x + iy, gdzie x, y ER.

Uwaga. Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby zespolonej w formie x + iy jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku x,y E R. Np. przedstawienie 1 + i{—2i) nie jest postacią algebraiczną liczby 3.

® Definicja 1.2.4 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)

Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z. Wówczas:

1.    liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą (z lac. realis) liczby zespolonej 2, co zapisujemy

x> ^def Re z = x:

2.    podobnie liczbę y nazywamy częścią urojoną (z lac. imaginalis) liczby zespolonej 2, co zapisujemy

_T def

Im z = y.

Liczbę zespoloną postaci iy, gdzie y E R \ {0}, nazywamy czysto urojoną.