56 57 (16)

Układy równań liniowych

tzn., gdy p ^ 4 i p / 1. Macierz rozszerzona układu dla p = -4 ma postać

-7

-7 1-3

"1 (-7)

“

J 1

3 -7

-2

—2 |-8

«/₂ 4 2u.,

0 0

T .

Ml D]

Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rz A = ] < 2 = rz \A\H\. Dla p = ] marny

Ml #] =

-2 2 0 C

więc rz>4 = 1 = u B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

b) Dla układu rozważanego w tym przykładzie marny

1 V 1

det A =

= 2p(l - p),

2 1 1

1 1 p

więc ma on dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy p (] i p * 1. Przeprowadzili:/ teraz anaJizę układu dla p = 0 ora2 p =■ 1 stosując twierdzenie Kroneckcra-Ca-pellego. Dla p = C mamy

[A\B} =

'10 1	1	u>2 ^— 2u/j	10 2	J '
2 1 1	0	u>2 ^— 2u/j	0 1 -1	-2
1 1 0	0 .	“3 “ “*1	i) 1 -1	-1 .

' 1 C	1	1
0 1	-1	-2
. 0 0	0	1 .

Oznacza to, że rząd macierzy A układu jest równy 2 podczas, gdy rząd macierzy rozszerzonej [/i|/?] jest równy 3. Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Dla parametru

	^{1 1} 1	11		¹ i i	1 7
'A\B) =	2 i :	i	u-₂ W\|	1 0 0	°
	.111	i.	- t*-l	.000	oj

p = 1 mamy

W rozważanym przypadku rzędy macierzy głównej oraz macierzy rozszerzonej układu są równe 2. Oznacza to, zc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

c) W kolejnym układzie równań marny

I ^p 1

det A = I 1 1

1 -1

= p² — 2p — 3 — (p -ł- l)(p — 3),

-l L	i	11		^r0	0	3	2 1
I 1	-i	-i	t»r 4 «>3	0	2	0	— 2
L i -i	-i	i.	u»2 -	. 1	-1	-1	1 .

więc dla p ^ - 1 oraz p 3 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla p = -1 mamy [A\B] =

Układ równań jest w tym przypadku sprzeczny. Podobnie jest dla p = 3, gdyż

Ml#) =

'3 1 1 1 l -1

1 '

- 3iw3

■ 0 4-8 0 2-4

-2 ' 2

i«] — 2 tu j

0 0 0

0 2-4

-6 ‘ 2

1-1 3

u-2 - uij

.1-1 3

1 .

.1-1 3

1 .

Szósty tydzień - przykłady

a więc rz A = 2 < 3 = rz .

<1) W ostatnim układzie równań mamy

V	p	p	p	u, j — u*2	p -¹	0	0	0
1	p	V	p	*2 - u'3	0	p - 1	0	0
1	1	V	p	wn — \L'Ą	0	0	p -1	0
1	1	1	p		1	1	1	V

= p(p - 1}\

Dla p = 0 oraz p = 1 macierze rozszerzone przyjmują odpowiednio postać

det A —

0	0	0	0 '		B- i_	1	1	1
1	0	G	0	oraz	B- i_	1	1	1
1	1	G	0	oraz	1 1	1	1	1
1	1	1	0		1 1	1	i	i

Zatem dla p = 0 otrzymamy ze rz A = 3 = rz [>i|i3] = r < n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n — r = 1 parametru. Natomiast dla p = 1 mamy rz A =• 1 = rz [/4|/ł] = r < n = 4 i układ równań ma także nieskończenie wiele rozwiązań ale zależnych od n — r = 3 parametrów.

• Przykład* 6.4

Rozwiązać podane układy równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p

a) <

x + 2y + Zz = 3r + + 7z =

2z + 4y -f 5z =

x + 2y + 4z =

-1

-P

b)

pz + y - 2z + i = p

x + py + z =3

2x + 2y + 2z + pt = 2

Rozwiązanie

a) Wykonamy najpierw kilka przekształceń macierzy rozszerzonej układu równań. Mamy

12 3	-l
0 0 -2	p + 3
0 0 -1	4
.0 0 1	1-P .

'12 3	-1 '
3 e t	V
2 4 5	2
.12 4	~P .

u*2 -3»i

- 3u»,

— u/]

ui₂ ł 2u/₄**3 + *"4

[12 3	-1 1
0 0 0	5 -p	4-3=
0 0 0	5 - p	“3 *-
0 0 1	1 - P .

12 3-1

00 1 1 -p

0 0 0 |5 -p .

Dla p sć 5 układ jest sprzeczny, gdyż wtedy rzy4 = 2 < 3 = rz [z4|J?]. Dla p = 5 przekształcając dalej macierz rozszerzoną otrzymamy

’ 1 2 3	-i
0 0 1	-4

‘-'i -

1 2 Ol 11 0 0 11-4

co oznacza, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań z jednym parametrem: z = 11 — 2y, z — —4, gdzie y € R. b) Macierz rozszerzona układu ma postać

	’ V 1	-2 1	P ‘
[MB] =	1 p	l 0	3
	.2 2	2 p	2.