14

Liczby zespolone

Postać

Uwaga. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy warunku i² = —1. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną, x + iy, gdzie x,y G R, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x — iy, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

9 Definicja

określoną

Rys. 1.2.1. Osie rzeczywista i uro-    Rys. 1.2.2. Interpretacja geometryczna

jona na płaszczyźnie zespolonej.    postaci algebraicznej liczby zespolonej.

Liczba Re z (r

o Ćwiczenie 1.2.5

Obliczyć:

a) (1 - Va*) + (1 + \/2i); b) (3i - 2) - (1 - 2i); c) (1 + 2i) (-3 + 4i);    d)

O Ćwiczenie 1.2.6

Niech z, z_1} z₂ G C. Uzasadnić równości:

a) Re (zj + z₂) = Rezi + Re z₂\ b) Im (zi + z₂) = Imzi+ Imz₂; c) Re {iz) = -Imz;    d) Im (iz) — Re z.

SI Fakt 1.2.

Niech z,

1. z₁ + z₂

3. z{ ■ z₂

5. z -f- z

7. (i) =

® Fakt 1.2.7 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.

uczDy oc

O Ćwiczeń

Roz wiąz; a) 2z + { c) z z-f

J Re z\ — Re z₂, ( Imzi = Imz₂.

o Ćwiczenie 1.2.8

Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające podane warunki: a) z² + 4i — 0;    b) Re z — 3 Im 2 = 2; c) Re (iz) > 1;

z -j- 2    3 z -f- i

d)

1

2 + i

e)

6z + 10 = 0.

o Ćwiczenie

Uzasadnić

a)    liczba z<

b)    liczba z<

o Ćwiczenie

Wyjaśnić,

nierówności