CCF20120509011

62 Część I. Przykłady i zadania

4.2. Ruch potencjalny płynu — zastosowanie rachunku zmiennej zespolonej

4.2.1. Funkcja (p(x,y) = C(x³ — 3xy²), gdzie C = const^O, jest potencjałem prędkości płaskiego, ustalonego ruchu płynu doskonałego. Określić funkcję prądu i//(x,y) oraz potencjał zespolony w(z).

4.2.2. Rodzinę linii prądu płaskiego, ustalonego ruchu płynu doskonałego opisuje równanie:

--x= = const.

x² + y²

Wyznaczyć potencjał zespolony w(z).

4.2.3. Przepływ jednorodny określa potencjał zespolony w(z) = Cz, przy czym C = a + ib, jest stałą liczbą zespoloną. Wyznaczyć i przedstawić graficznie rodzinę linii prądu oraz rodzinę linii ekwipotencjalnych, a także ustalić zwrot wektora prędkości.

4.2.4. Przepływ płynu doskonałego określa potencjał zespolony w(z) = Clnz, gdzie C jest liczbą rzeczywistą. Korzystając z układu współrzędnych biegunowych, wyznaczyć funkcję prądu, potencjał oraz wektor prędkości.

4.2.5. Dany jest potencjał zespolony:

w (z) = Cz",

gdzie C i n są liczbami rzeczywistymi. Dla n równego 4, 2, 1, 3 oraz wyznaczyć:

a) potencjał prędkości (p{r,b) i funkcję prądu 1l/(r,9),

b) składowe wektora prędkości v_x(r,b) i v_y(r,S), oraz

c) przedstawić graficznie linie prądu i zaznaczyć na nich kierunek przepływu.

4.2.6. (Rys. 1-4.1). W środku płaskiego dachu hali fabrycznej o długości L zainstalowano szereg wentylatorów, które zasysają świeże powietrze z atmosfery. Przepływ powietrza przez szczeliny wentylatorów określa w przybliżeniu potencjał zespolony w (z) = Clnz. Obliczyć:

Rys. 1-4.1

a) składowe oraz moduł wektora prędkości,

b) wydajność źródła Q,

c) prędkość przepływu w funkcji Q i r,

d) rozkład ciśnienia p-p_x na dachu, pomijając przy tym wpływ pola gi witacyjnego.

4.2.7. Ruch płynu doskonałego określa potencjał zespolony

w(z) = —łn( z-

gdzie Q> 0, zaś a = const. Wyznaczyć punkty leżące na płaszczyźnie zespolon w których znajdują się źródła i upusty.

4.2.8. Określić potencjał zespolony oraz pole prędkości przepływu, składające się ze źródła dodatniego o natężeniu Q, umieszczonego w punkcie z_x = —Li źróc ujemnego o takim samym natężeniu przepływu, które znajduje się w punkcie z₂ =

4.3. Ruch wirowy

4.3.1. Obliczyć moduł prędkości wiru opisanego potencjałem zespolonym:

w(z) = —lnz.

4.3.2. (Rys. 1-4.2). Płaski przepływ cieczy doskonałej opisują składowe wekt< prędkości:

v_x = 4x²y — 2y oraz v_y = — 4xy² + 2x.

(łbliczyć cyrkulację prędkości po konturze prostokąta, którego wierzchołki znajdi się w punktach /4(0,0), .6(2,0), C(2,1) i D(0,1).

4.3.3. (Rys. 1-4.3). Pole prędkości przepływu określa wektor v = ay²i + bx²j, pi czym dla dowolnego a i b spełniony jest warunek ciągłości przepływu. Wyznać; cyrkulację prędkości po konturze zamkniętym, który stanowi czwarta część okrę 16 o promieniu R oraz odcinki proste CA i C6.

Rys. 1-4.3

y	0(011) C(2,1)
y
	4(Q0) B	2,0) X

Rys. 1-4.2