chądzyński1
12 2. FUNKCJE ZESPOLONE
Zadanie 5. Niech S C C będzie obszarem jednospójnym. Pokazać, ze istnieje ciąg {ShjneN spełniający następujące warunki:
(a) Sn są obszarami jedno spójnymi,
(b) S — UneN S-n,
(c) Sn >5n+lj
(d) każdy podzbiór zwarty K C S jest zawarty w pewnym zbiorze
Sn. ‘
Rozwiązanie. Niech będzie ciągiem określonym w zadaniu
4 dla G = S. Wówczas, w myśl założenia i zadania 4(f), wszystkie zbiory Gn nie rozcinają płaszczyzny. Weźmy dowolny punkt a G G\
1 dla dowolnego n G N oznaczmy przez Sn składową zbioru Gn zawierającą punkt a. W myśl własności 1.6.3 wszystkie zbiory Sn są obszarami jednospójnymi. Oczy w-iście (a) i (c) zachodzą. Wystarczy zatem pokazać (b), bo (d) jest prostą konsekwencją (b).
(b). Oczywiście S D UneN Pokażemy, że S C UneN^* Niech z G S będzie dowolnym punktem, a L łamaną łączącą punkty a i z leżącą w S. Niech p*(L, C \ S) będzie odległością zbiorów L, C \ S w metryce sferycznej. Ponieważ zbiory te są rozłączne i zwarte, to p*(L,C\S) > 0. Jeśli n > 1 /p*(L,C\S), to dla każdego w G L mamy p(w) > p*(L, C \ S) > 1 jn. Zatem L c Gn dla n > l/p*(Ł, C \ S). Stąd i ze spójności łamanaej L, dostajemy L C Sn. Reasumując,
2 € Ui6N
To kończy rozwiązanie. □
2.2. Warunki Cauchy’ego-Riemanna
Zacznijmy od oznaczeń i pojęć, których będziemy używać w zadaniach tego podrozdziału.
Niech / będzie funkcją określoną w otoczeniu Q punktu a G €. Przez f'(a) oznaczamy pochodną zespoloną w punkcie a.
Niech u{x,y) := Re /(z), v(x, y) Im f(z) dla 2 — x + iy G Sb W prowadźmy ozn aczenia f'x(a) n'x(a, fi) iv'x(c±, /3), f'y (a) :—
u'y(a, (3) + iVy{a, p), gdzie u’x, v'x, u'y, v'y są pochodnymi cząstkowymi w dziedzinie rzeczywistej i a = Re a, P = Ima. Przy tych oznaczeniach wrarunki Cauchy’ego-Riemarma w punkcie a zapisujemy jednym wzorem
/» = a /*)/»•
Niech O0 •= {h € C : a + h € 0} i niech hi = Reh, ń2 = Im h. Mówimy, że funkcja f jest R - różniczko walu a w punkcie a, gdy istnieją stałe Aiz A2 G C i funkcja oj : Q0 —> C ciągła w punkcie 0, to(0) = 0 takie, że
f(a + h) = f (a) + Aihi + A2h2 + co(ń)[ń|, h e Sio-
Odwzorowanie R-liniowe h i—> Aihi -f A2h2 nazywamy R-rćźniczką funkcji f w punkcie a.
Zadanie 1. Pokazać, że jeśli funkcja f ma pochodną f'(a). to jest ona R-różniczkowalna w punkcie a i spełnia warunki /'(a) — (1 /i)f'(a) — /'(«)•
Rozwiązanie. Z lematu I.9.1wynika, że istnieje funkcja oj : £7o —*■ C ciągła w punkcie 0, w(0) = 0 i taka, że
(1) f(a + h) — f(a) + f{a)h + u(h)\h\, h e fi0.
Połóżmy h] = Reh,h2 = Imh. Wtedy z (1) dostajemy
/(a + h) — f(a) + f{a)hi if'(a)h2 + u(h)\h\, h £ O0.
Czyli fx(a)hi + ify{a)h2 jest R-różniczką funkcji / w punkcie a. Zatem z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy fx(a) = /'(<*) i fy(a) = «/»■ Stąd fx(a) = (1 /i)fy{a) = f(a).
To kończy rozwiązanie. □
Zadanie 2. Pokazać, że jeśli funkcja, f jest IR - różniczko walna w punkcie a i spełnia warunek f'x(a) — (1 fi)f'y(a), to ma ona pochodną f'(a) = f'(a).
Rozwiązanie. Z określenia R-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe A\, A2 € C i funkcja oj : Q0 —»■ C ciągła w punkcie 0, w(0) = 0 takie, że
(1) f(a + h) — /(a) + A\h\ A2h2 + cn(h)jh|, h € Qo,
gdzie hi = Re h, h2 = Im h. Z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy Ai = fx(a) i A2 = Ą(a). Stąd i z drugiego założenia wynika, że A\ — {lji)A2. Zatem z (1) dostajemy
f(a + h) = /(a) + Aih + co(/i)jń[5 h e O0.
Z lematu 1.9.1 wynika, że istnieje pochodna f(a) = Aj.
□
To kończy rozwiązanie.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
chądzyński2 14 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a.
chądzyński4 66 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Zadanie 3. Niech G C C będzie obszarem i niech /:(?—* C będ
chądzyński5 48 2. FUNKCJE ZESPOLONE 2.7. Ciągi i szeregi funkcyjne Zadanie 1. Niech X będzie dowoln
chądzyński8 54 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ Zadanie 2. Niech 7 : (a, p) —> C będzie opi
12 Funkcje zespolone. Nie zawsze obrazem obszaru jest obszar. Przykład 3.7. Funkcja/(z) =
chądzyński 9 ROZDZIAŁ 2Funkcje zespolone 2.1. Funkcje rzeczywiste zmiennej zespolonej Zadanie 1. Nie
chądzyński 2 158 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Zadanie 6. Niech {aw} będzie
chądzyński0 I 174 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE Zadanie 9. Niech K = {z G C : z <r} i
chądzyński4 178 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE Zadanie 5. Niech f będzie funkcją holomorf
154 (2) Zadania, 6. Niech g: R —> R będzie funkcją określoną wzorem g(X) = (exP
20 Funkcje zespolone. Przykład 4.6. Niech C = K(zo,r) = {z £ Cl :
chądzyński1 32 2. FUNKCJE ZESPOLONE Niech teraz v / 0. Wówczas z (2) i różnowartościowości funkcji
chądzyński3 36 2. FUNKCJE ZESPOLONE mocy zadania 4 dla dowolnego k £ {1,..n} istnieją funkcje ciągł
chądzyński5 40 2. FUNKCJE ZESPOLONE Stąd (1) tg Ti (z) = tg T2{z) dla z £ E. Z za
chądzyński0 ROZDZIAŁ 6Funkcje regularne 6.1. Twierdzenie o identyczności Zadanie 1. Niech G C C będ
chądzyński4 122 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. Niech G — C {z £ C : Re z — O, Im z < 0} i ni
chądzyński8 130 6. FUNKCJE REGULARNE 6.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Zadanie 1. Niech a
więcej podobnych podstron