chądzyński2

chądzyński2



14 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a. Pokazać, ze funkcja f sprzężona do funkcji f ma pochodną f (a) dokładnie wtedy7 gdy f's(a) — if (a).

Rozwiązanie. Z określenia M-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe Ai,A2 G C i funkcja u : S70 —»► C ciągła w punkcie 0, o;(0) = 0 takie, że

(1)    f(a + h) — /(a) Aih.\ + A2h2 + u>(h)\h\, h G Q,q,

gdzie hi — Reh, h2 — Imh. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(2)    =/*(«) 1 = /'(«)■

Z drugiej strony, z (1) mamy

(3)    f (a + ń) = /(e) I- Aj /ii 4- A2h2 +    ń G Qo*

Z (3) i z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(4)    A1 = f'x(a) i A2 = 7y(a).

Zauważmy teraz, że istnienie pochodnej f\a), w myśl zadań 1 i 2 oraz wzoru (4), jest równoważne równości A\ = (\/i)A2. Na mocy (2) ostatnią równość możemy zapisać w postaci /'(o) — ify{a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Załóżmy, że funkcja f ma pochodną /'(a). Pokazać, że funkcja, f sprzężona do funkcji f ma pochodną f (a) dokładnie wtedy, gdy /'(o) — 0.

Rozwiązanie. Z założenia i z zadania 1 wynika, że funkcja / jest M-różniczkowalna w punkcie a i spełnia warunek f'x(a) — (1 /«)/'(«) = f'(a).

Jeśli funkcja / ma pochodną / (a), to z zadania 3 fj(a) ~ ify(a). Stąd /'(o) — 0.

Jeśli f'(ci) = 0, to /'(a) = ify(a) — 0 i, w myśl zadania 3, funkcja / ma pochodną / (a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Pokazać, że jeżeli funkcja f jest IR-różniczkowalna w punkcie a i istnieje granica lim/,._»o Re -'hl~.fi?-} ^ funkcjo, j rna pochodną f'(a).

Rozwiązanie. Z określenia M-różniezkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe Ai, A2 £ Ci funkcja u : £70 —C ciągła w punkcie 0. cj(0) — 0 takie, źe

(1)    /(a 4- h) = f(a) 4- A\h\ + A2h2 4- tn(/i)J/i|, h £ Ho,

gdzie hi = Reh, h2 — Im/?.. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(2)    A, =    f'Mi A2 = /'(o).

Niech lim/^o Re ^a+fl\    — g £ C. Wówczas z (1)

(3)


lim Re

/i-*0


A\h\ -j- A2h2

h


= 9-


Kładąc w (3) kolejno h2 = 0, hi = 0 i h\ — h2, dostajemy odpowiednio ReAi — g, ImĄ = g i |(ReAi + ReA2 4- Im Ai 4 ImĄ) — g. Stąd Re A] = Im A2, Im A] = — ReA2 i w konsekwencji

(4)    Ai =-- (1 //)A2.

Z (4), (2) i zadania 2 wynika istnienie pochodnej /'(a).

To kończy rozwiązanie.    D

1-różniczkowalna w to funkcja f lub


Zadanie 6. Pokazać, ze jeżeli funkcja f jest punkcie a i istnieje granica lim/,_+0

funkcja f sprzężona do funkcji f ma pochodną w punkcie a.

Rozwiązanie. Z określenia M-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stale A1; A2 € C i funkcja, lj : f20 —> C ciągła w punkcie 0, tu(0) = 0 takie, że

(1)    f{a + h) = f(a) 4- Axhi 4- A2h2 + w(ń)|/i|, h £fi0,

gdzie hi — Re h, h2 = Im h. Z (1) i z twierdzenia o M-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy

(2)    A = /» i A2 = f‘(a).

Niech lim/,^0 | —a.+N_A(4> | — g ę. c. Wówczas z (1)

(3)    lim

o


A\h\ + A2h2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński1 12 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 5. Niech S C C będzie obszarem jednospójnym. Pokazać, z
chądzyński8 54 3. CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE ZESPOLONEJ Zadanie 2. Niech 7 : (a, p) —> C będzie opi
chądzyński5 48 2. FUNKCJE ZESPOLONE 2.7. Ciągi i szeregi funkcyjne Zadanie 1. Niech X będzie dowoln
chądzyński9 ROZDZIAŁ 2Funkcje zespolone 2.1. Funkcje rzeczywiste zmiennej zespolonej Zadanie 1. Nie
chądzyński4 66 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Zadanie 3. Niech G C C będzie obszarem i niech /:(?—* C będ
chądzyński0 I 174 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE Zadanie 9. Niech K = {z G C : z <r} i
chądzyński4 178 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE Zadanie 5. Niech f będzie funkcją holomorf
154 (2) Zadania, 6.    Niech g: R —> R będzie funkcją określoną wzorem g(X) = (exP
chądzyński0 ROZDZIAŁ 6Funkcje regularne 6.1. Twierdzenie o identyczności Zadanie 1. Niech G C C będ
6 (28) 101 Zadania MB. Niech/będzie dwukrotnie różniczkował na na %a, b},f(a) < 0 ,f(b) > 0 J
381 2 381 8.6. Równania różniczkowe cząstkowe doboru współczynników do zadania. Niech będzie *„ = (c
Zadanie 6. Niech A będzie wartością własną macierzy .4 Wyznaczyć wartości własne macierzy a)
ASD ep 08 2003 D 3 Zadanie 6 Niech będzie dany dowolny n-elemcntowy ciąg. (a)    Szu
chądzyński1 JACEK CHĄDZYŃSKIWstęp do analizy zespolonejw zadaniach WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU ŁÓ
ASD ep 08 2003 C 3 Zadanie 6 Niech będzie pewien dowolny ciąg o n elementach. (a)    
03. Zadania obliczeniowe z działu kartografia 14. Babia Góra Zadanie 3.(2 pkt) Oblicz, jaką różnicę

więcej podobnych podstron