chądzyński0
r r+oo
lim / f(z)dz =
cost
(;t2 + a2)(t2 + b2)
df.
Ponadto, z zadania 1, mamy
lim
L
exp iz
-dz = 0.
fi—*+oo JCr (z2 +• a2) (z2 4- 62)
Przechodząc w (5) do granicy przy R —* +oo i korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy
+°° COS tdt 7T / 1 1
□
(t2 4- a2)(t2 4- fr2) (62 — a2) \aexpa bexpb To kończy rozwiązanie.
Zadanie 3. Obliczyć całkę
*+oo
cos tdt (t2 + a2)2 ’
gdzie a > 0.
Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem
(i)
/w-
exp iz
(z2 + a2)2'
Jest to funkcja meromorficzna w C. Ma ona jedynie dwa biegimy dwukrotne w punktach z\ = ia, Zo = —ia. Obliczmy residuum funkcji / w punkcie Z\. Z zadania 6.3.2 mamy
(2) res,a / = lim^a [(z - ia)2f(z)]'
= lim,
exp iz
a 4~ 1
4ia3 exp a'
(z 4- ia)2
Niech dalej liczba R będzie większa od a. Wówczas mamy
. , , . ,1 dla k = 1,
md Tr (Zk)
0 dla k — 2.
Z (1), (2) i (3), na mocy twierdzenia o residuach, dla dowolnego R > a dostajemy
f £t s j 0 - a + 1 a (a 4- 1)
jr f(z)dz = 2 =
exp a 2a3exp a
Z drugiej strony, mamy
P)
[ f (z)dz = f f(z)dz + [ f(z)dz. dr* JCn
Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R —► +oo. IMamy
I f(z)dz — f f(t)dt — [ J[~R,R] J-R J-
exp it r {t2 + a2)'
:dt
sin t
lim / [
400 cost
Ponadto z zadania 1 mamy
exp * z
«-+“/cJ1(^ + a2)2
dz — 0.
I Przechodząc w (5) do granicy przy R —> +oo i korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy
i
cos i _ 7r(o 4-1)
/
OC
(t2-j-a2)2 2a3expa
| To kończy rozwiązanie. Zadanie 4. Obliczyć całkę
gdzie a,b > 0.
□
/+oc
oo
cos atdt t2 4- b2
Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem
exp iaz
(1) /(*) =
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
chądzyński6 106 6. FUNKCJE REGULARNE Stąd(3) t^rhLfi{z)dz~nPes<kfu(4)
chądzyński7 108 6. FUNKCJE REGULARNE Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi
chądzyński8 110 6. FUNKCJE REGULARNE Z (1), (2) i (3) dostajemy 110 6. FUNKCJE REGULARNE +oo k=l 1
chądzyński2 118 6. FUNKCJE REGULARNE R t exp iat ~^Wdt[ f{z)dz — [ f(t)dt= [ J[-R,R]
chądzyński3 120 6. FUNKCJE REGULARNE Przechodząc w (5) do granicy przy R —» -t-oo i korzystając z!
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
chądzyński2 100 6. FUNKCJE REGULARNE Z drugiej strony, jeśli
chądzyński3 102 6. FUNKCJE REGULARNE 102 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. 6.3. Residua
chądzyński4 104 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. W myśl zadania 6.1.3 funkcje 1/ sin nz, ct.g nz s
chądzyński9 112 6. FUNKCJE REGULARNE Istotnie, istnieje C > 0 takie, że dla dostatecznie dużych
chądzyński1 116 6. FUNKCJE REGULARNE Jest to funkcja, meromorfiezna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny
chądzyński4 122 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. Niech G — C {z £ C : Re z — O, Im z < 0} i ni
chądzyński5 124 6. FUNKCJE REGULARNE Z powyższego drogą łatwej indukcji dostajemy, że wszystkie cał
chądzyński6 126 6. FUNKCJE REGULARNE To kończy rozwiązanie części (a). (b). Rozwiążemy teraz drugą
chądzyński7 128 6. FUNKCJE REGULARNE zadania 2. Połóżmy /(z) = zaQ (z) dla z G C (R+ U {«, —i}). W
chądzyński8 130 6. FUNKCJE REGULARNE 6.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Zadanie 1. Niech a
chądzyński9 132 6. FUNKCJE REGULARNE Ze wzoru na residuum funkcji w biegunie dwukrotnym dostajemy (
chądzyński5 40 2. FUNKCJE ZESPOLONE Stąd (1) tg Ti (z) = tg T2{z) dla z £ E. Z za
chądzyński0 78 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Rozwiązanie. Wiadomo z analizy rzeczywistej, że jeśli bn &g
więcej podobnych podstron