chądzyński4

chądzyński4



122 6. FUNKCJE REGULARNE

Rozwiązanie. Niech G — C \ {z £ C : Re z — O, Im z < 0} i niech L będzie gałęzią logarytmu funkcji tożsamościowej w G taką, że L(z) = Log (z) dla z 6 R+. Z zadania 2.5.2 wynika, że funkcja L istnieje i jest postaci

(1)    L (z) — Log(—iz) — (3/2)7ń dla z E G.

Z twierdzenia 1.13.3 wynika, że L jest funkcją, holomorficzną. Rozważmy w zbiorze G funkcję /* określoną wzorem

(L(z)f


(2)


h (*) =

1 + Z4

Jest to funkcja meromorficzna w G. Ma ona jedynie cztery bieguny

1    3    3    *    1    ■

jednokrotne w punktach zx — Z2 = e*1™, z3 = e~'*7r\ z4 = er*™. Obliczmy residua funkcji fk w punktach z4 i z2

1 Lk(zi) ZiLk (z{)


res2i fk = [L (zj)] ' res*, j


+ zL~


4 zf


l = 1,2.

Stąd, w myśl (1), mamy

(3)    r es „A + res ,Jk = -1 f^Tri) (eH + et"3l) .

Załóżmy dalej, żeO<r<l<Ri weźmy krzywą zamkniętą

rr,i? — [-R, — r] + (—Cr) + [r, R] + Cft,

gdzie Cp jest krzywą o opisie parametrycznym (0, ff) 9 i h pelt. Krzywa rr>/? przebiega w G. Z zadania 6.2.4 i z własności 1.35.1 mamy odpowiednio

(4)    indrrR (zj) - indrr K (z2) = 1,

(5)    indrr. fi (z3) = h\drr R (z4) = 0.

Z (3), (4) i (5), stosując twierdzenie o residuach, dostajemy

(6)    fk (z)dz - -\/2    ((1 - 3*) + i (l -+-3*)) .

Rozważmy teraz całkę po lewej stronie (6). Z własności 1.19.3 dostajemy

Zauważmy najpierw, że z definicji całki krzywoliniowej, uwzględniając '(1) i (2), mamy

i    ( [    + I \fk(z)dz= f [fk(-t) + fk(t)]dt

U[-R,-r] J[r,R\J    Jr

i + tA


— [R gż + A"*)* + (L°gt)* J*

J r

Stąd, wprowadzając oznaczenie

r,« _ r (l

+ t4


k Jr 1

j wykorzystując wzór dwumianowy Newtona, mamy

I

k


K8)


| /    +/’}/* w & = it* +    o («)*■'


■ Pokażemy teraz, że

0 oraz /    //t (2) dz

JcR


0.


U)    f    fk(z)dz    . . ,

7cr    -/r?-

Istotnie, dla z leżącego na krzywej CT mamy

\fk(z)\ < (|Log?j + 7r)fc /(I — r4),

'zatem


/ A W

Jcr


dz


< TC r


(|Logr| + 7r) ^


1 — r4    r—>0+

co daje pierwszą część (9). Analogicznie

(Log /? +


0,


f fk {z)

d Cr


dz


< tcR-


Rd — 1 R—t+oo


0.


Z (6), (7), (8) i (9) dostajemy

1

   f fk(z)dz = | /    - [ + f + f } fk (z) dz.

J rr,«    ./C7r    ./CrJ


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński4 104 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. W myśl zadania 6.1.3 funkcje 1/ sin nz, ct.g nz s
chądzyński1 12 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 5. Niech S C C będzie obszarem jednospójnym. Pokazać, z
chądzyński2 14 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a.
chądzyński4 66 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Zadanie 3. Niech G C C będzie obszarem i niech /:(?—* C będ
chądzyński8 10 2. FUNKCJE ZESPOLONE Rozwiązanie. Weźmy dowolne punkty z z" £ C. Na mocy własno
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
chądzyński3 102 6. FUNKCJE REGULARNE 102 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. 6.3. Residua
chądzyński6 126 6. FUNKCJE REGULARNE To kończy rozwiązanie części (a). (b). Rozwiążemy teraz drugą
chądzyński8 130 6. FUNKCJE REGULARNE 6.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Zadanie 1. Niech a
chądzyński0 78 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE Rozwiązanie. Wiadomo z analizy rzeczywistej, że jeśli bn &g
chądzyński2 100 6. FUNKCJE REGULARNE Z drugiej strony, jeśli
chądzyński6 106 6. FUNKCJE REGULARNE Stąd(3)    t^rhLfi{z)dz~nPes<kfu(4)
chądzyński7 108 6. FUNKCJE REGULARNE Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi
chądzyński8 110 6. FUNKCJE REGULARNE Z (1), (2) i (3) dostajemy 110 6. FUNKCJE REGULARNE +oo k=l 1
chądzyński9 112 6. FUNKCJE REGULARNE Istotnie, istnieje C > 0 takie, że dla dostatecznie dużych
chądzyński0 114 6. FUNKCJE REGULARNEStąd W r    r+oo lim / f(z)dz = cost (;t2 + a2)(
chądzyński1 116 6. FUNKCJE REGULARNE Jest to funkcja, meromorfiezna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny
chądzyński2 118 6. FUNKCJE REGULARNE R t exp iat ~^Wdt[ f{z)dz — [ f(t)dt= [ J[-R,R]
chądzyński3 120 6. FUNKCJE REGULARNE Przechodząc w (5) do granicy przy R —» -t-oo i korzystając z!

więcej podobnych podstron