chądzyński6

126 6. FUNKCJE REGULARNE

To kończy rozwiązanie części (a).

(b). Rozwiążemy teraz drugą część zadania. Funkcja wymierna Q ma bieguny w punktach bi,... ,b_n € C \ IR+- Rozważmy w zbiorze C\ (R+U {6i,..., b_n}) funkcję / określoną wzorem f(z) = z^aQ (z). Jest to funkcja meromorficzna G = C \ R.+ i ma bieguny w punktach 61,..., 6_n £ G.

Niech dalej 0 < 5 < 7r i C_e (p) będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym (a, 27r — a) B pe^lt € C- Połóżmy (9) r = C_£ (R) + [ifer*, re-^i£] + (~C_e (r)) + [re^I£, Re^l£] , gdzie 0 < r < R. Krzywa V jest zamknięta, JF| C G' i dla dostatecznie małych e i r oraz dostatecznie dużego R wszystkie bi,... ,b_n leżą w składowej ograniczonej zbioru C \ |r|. Wówczas z zadania 6.2.5 mamy indr(fy) = 1 dla / = 1,..n. Stąd i z twierdzenia o residuach dostajemy

(10)

Zauważmy najpierw, że dla p = r lub R łatwym rachunkiem dosta.-jemy

Pokażemy teraz, że

(12)

Istotnie, z (1) dla r < r₀ dostajemy oszacowanie

Stąd, uwzględniając (*) i (11), dostajemy (12). Pokażemy teraz, że

Istotnie, z (2) dla R > Rq dostajemy oszacowanie

r?TT

ż/T⁺¹ /    e^(a+1*‘Q (Re*) dt

Jo

Stąd, uwzględniając (*) i (11), dostajemy (13). Pokażemy na koniec, że

_fR

= (l — e^2ctni) J x^aQ(x)

Istotnie, przechodząc do całek zwyczajnych, mamy

f z^aQ (z) dz = eS^a+1)i€ [ t^aQ (e'^et) dt J \re'^c .Re^if\    Jr

[    z^aQ (z) dz = __e2«»v-^,"^+1>,e f t^aQ (e~*t)

J [l?e^_^^e,re~¹’^e]    Jr

Stąd, po przejściu do granicy przy e —>• 0⁺, dostajemy (14).

Przechodząc teraz w (10) do granicy z e —> 0⁺, r —► 0⁺ i R —* -Poo i korzystając z (9), (12), (13) i (14), dostajemy

(l - e^2am) / t^aQ (t.) dt — 2tt2 S2 res_6ł (z^aQ (z)),

•'o    1=1

co daje łatwo wzór na /(a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech —1 < a < 3. Obliczyć całkę

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że a ^ 0,1,2. Wtedy całkę / (a) możemy policzyć korzystając z zadania 2. Funkcja wymierna Q (z) — 1/ (1 4- z'²) ma współczynniki rzeczywiste i bieguny w punktach i, —i. Ponadto ordoQ — 0 i deg<Q = —4, czyli spełnione są warunki (*) z

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
chądzyński3 102 6. FUNKCJE REGULARNE 102 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. 6.3. Residua
chądzyński7 44 2. FUNKCJE ZESPOLONE i.- Stąd i z (2) otrzymujemy (1). To kończy rozwiązanie.
chądzyński5 68 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE to funkcja h ma pochodną w punkcie zq i (**) ti{z0) - R
chądzyński2 100 6. FUNKCJE REGULARNE Z drugiej strony, jeśli
chądzyński4 104 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. W myśl zadania 6.1.3 funkcje 1/ sin nz, ct.g nz s
chądzyński1 116 6. FUNKCJE REGULARNE Jest to funkcja, meromorfiezna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny
chądzyński4 122 6. FUNKCJE REGULARNE Rozwiązanie. Niech G — C {z £ C : Re z — O, Im z < 0} i ni
a.    Model funkcjonalny - jest to typowe rozwiązania spotykane w średnich i duż
chądzyński6 106 6. FUNKCJE REGULARNE Stąd(3)    t^rhLfi{z)dz~nPes<kfu(4)
chądzyński7 108 6. FUNKCJE REGULARNE Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi
chądzyński8 110 6. FUNKCJE REGULARNE Z (1), (2) i (3) dostajemy 110 6. FUNKCJE REGULARNE +oo k=l 1
chądzyński9 112 6. FUNKCJE REGULARNE Istotnie, istnieje C > 0 takie, że dla dostatecznie dużych
chądzyński0 114 6. FUNKCJE REGULARNEStąd W r    r+oo lim / f(z)dz = cost (;t2 + a2)(
chądzyński2 118 6. FUNKCJE REGULARNE R t exp iat ~^Wdt[ f{z)dz — [ f(t)dt= [ J[-R,R]
chądzyński3 120 6. FUNKCJE REGULARNE Przechodząc w (5) do granicy przy R —» -t-oo i korzystając z!
chądzyński5 124 6. FUNKCJE REGULARNE Z powyższego drogą łatwej indukcji dostajemy, że wszystkie cał
chądzyński7 128 6. FUNKCJE REGULARNE zadania 2. Połóżmy /(z) = zaQ (z) dla z G C (R+ U {«, —i}). W
chądzyński8 130 6. FUNKCJE REGULARNE 6.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych Zadanie 1. Niech a

więcej podobnych podstron