chądzyński9

152 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Zadanie 1. Pokazać, że funkcja, holomorficzna f : C\{a} —► C jest częścią główną szeregu Laurcnta w punkcie a dokładnie wtedy, gdy lim^oo/ (z) = 0. ;

Rozwiązanie. Każda funkcja holomorficzna / : C \ {a} —► C na mocy twierdzenia 1.38.1 rozwija się w szereg Laurenta o środku w punkdie a zbieżnym w C \ {a}. Niech / = g -f h, gdzie g jest częścią główną,' a h - częścią regularną tego rozwinięcia. Funkcje g, h są holomorficzne w C \ {g}. Funkcja h rozszerza się holomorficznie na punkt a, czyli,jest funkcją całkowitą, a funkcja g jest częścią główną szeregu Laurenta w punkcie a. Oczywiście

(1) hm g {z) = 0.

Z—MDO

Załóżmy teraz, że łim_z_^₀₀ / (2) = 0. Wówczas z (1) lim_z_₀₀ h (z) ~ 0. Zatem z twierdzenia 1.30.2 (Liouville’a) h — 0, czyli / = g. Odwrotnie, jeśli / — g, to z (1) lirn_2;_₊₀₀ / (z) = 0.

To kończy rozwiązanie. □

Zadanie 2. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech A będzie zbiorem izolowanym i domkniętym w G. Każdemu punktowi a £ A przyporządkowujemy część główną szeregu Laurenta w punkcie a, równą g_a. Pokazać, że istnieje funkcja f regularna w zbiorze G mająca punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A taka, że dla każdego aei jej część główna rozwinięcia w szereg Laurenta w punkcie a, jest równia g_a(uogólnione twierdzenie Mittag-Leffiera).

Rozwiązanie. Weźmy ciąg { K_n } zwartych podzbiorów zbioru G określonych w lemacie 1.46.1 (o wyczerpywaniu zbiorów otwartych zbiorami zwartymi). Połóżmy A₁ — A n K\ i A_n = AD (K_n \ A'_n_₁) I dla n = 2,3.... Ponieważ zbiór A nie ma punktów skupienia w G, więc wszystkie zbiory A_n są skończone. Połóżmy dalej dla dowolnej liczby naturalnej n

(1) Qn = Yi 3.-

Ct£.A_rt

Funkcja Q_n (n > 2) jest regularna w C i ma punkty osobliwe odosobnione Mył acz nie w zbiorze K_n \ A"_T1_i. Zatem funkcja Q_n (n > 2) j jest holomorficzna w zbiorze K_n~i- Z lematów 1.46.1 i 1.52.1 wynika., że zbiór G \ K_n-i(n > 2) nie ma składowych względnie zwartych \y G.

Zatem na mocy twierdzenia Rungego 1.52.1 (b)=>(a) istnieje funkcja Rn holomorficzna w G taka., że

(2) |Q_n (z) ~ Rn Wl < 3/2ⁿ dla z £ K_n__l.

Pokażemy, że funkcja

(3) / = Ol + Y.Wn -

n=2

jest regularna w G, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A i w każdym punkcie a £ A ma zadaną część główną rozwinięcia w szereg Laurenta. Ponieważ, w myśl lematu 1.46.1, G — (J_n>2IntA'_n, więc wystarczy pokazać, że dla dowolnego N > 2 funkcja / czyni zadość tym warunkom w Int Km-

Zauważmy najpierw', że suma. szeregu

(4) (Q_n - Rn)

7x—IV *4' 1

jest funkcją holomorficzną, w Int Km- Istotnie, dla dowolnego n > N, Int Km C Kn-1, zatem różnice Q_n — R^ są holomorficzne w Int K_N. Ponadto, na mocy (2), \Q_n (z) — FG (z)\ < l/2ⁿ dla z £ Km i w konsekwencji na mocy kryterium Weierstrassa (zadanie 2.7.2) szereg w (4) jest jednostajnie zbieżny w Km- Reasumując, w myśl twierdzenia 1.26.1 (Weierstrassa), suma szeregu (4) jest funkcją holomorficzną w Int K m -

Ponieważ R? H-----1- Rm jest funkcją holomorficzną w Int Km-, więc

na mocy powyższego funkcję f — (Qi + • - ■ 4- Qn) można rozszerzyć do funkcji holomorficznej w Int K_N- Zatem funkcja / jest regularna w Int K_N, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A fi Int Km i w' każdym punkcie a £ A fi Int K_N ma z góry zadaną część główną szeregu Laurenta.

To kończy rozwiązanie. □

9.3. Iloczyny liczbowe nieskończone

Zadanie 1. Niech a_n > 0, n £ Nq. Pokazo,ć, ze iloczyn n^Li (3- ^—an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ^an-

Rozwiązanie. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności iloczynu nieskończonego albo z warunku koniecznego zbieżności szeregu można

chądzyński9

chądzyński9

(1) Qn = Yi 3.-

(3) / = Ol + Y.Wn -

(4) (Qn - Rn)

chądzyński9

chądzyński9

(4) (Q_n - Rn)