chądzyński 5

164 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że iloczyn n^Li (l + f;) e~^z/V jest zbieżny dla dowolnego z G C. Oznaczmy przez h{z) jego wartość' w punkcie z. Dla 2 = 1 z zadania 9.3.2 mamy

(p y^(Lo_g(i+b) -b) = Lo_gh(i). I

Ponieważ Log (l + = Log (n + 1), więc z (1) dostajemy

(2) lim ( (l/v) - Log (n 4- 1) ) = - Log h (1).

\v=l /

Oczywiście lim^oo (Log (n + 1) — Logn) = 0. Stąd i z (2) mamy

(3) lim ( Y (1/^) ~ Logn )= -Log h(l).

r)—\ V /

,i/=i

□

Kładąc w (3) 7 = — Log/i(l), dostajemy (¹). To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Niech A : C —> C będzie funkcją całkowitą określgną wzorem A (z) = ze^7Z (l + ~) Pokazać, ze dla z G C maimy

z (z + 1) • • • (z + n)

n\n

V=l

z\ z (z + 1) • • • (z + n)

e ' =--:-exp

vj n\n^z

z Log n — Y;

v=\

Stąd, przechodząc do granicy przy n —> 00 i korzystając z określenia 7, dostajemy

n(i+

- 1 e-^z/v = e~^7Z lim

z (z + 1) • • • (z + n)

Jn^z

U=1

nin

co daje (¹).

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 4. Niech Z_ = {O, —1, —2,...}. r wzorem

Określmy w C \ Z_ funkcję

i -i

T{z) =

L z/=i J

Pokazać, ze funkcja F jest meromorficzna w C, ma bieguny tylko w zbiorze Z_ i wszystkie te bieguny są jednokrotne. Ponadto

(*) r (1) = 1 i T (z + 1) — zT (z) dla z ^ Z_.

Funkcję F nazywamy gammą Eulera.

Rozwiązanie. Funkcja 1/Y, w myśl zadania 3, rozszerza się do funkcji całkowitej A. Fimkcja A ma w punktach zbioru Z_ zera jednokrotne. Zatem funkcja T, w myśl twierdzenia 1.34.2, jest meromorficzna w C i, na mocy wniosku 1.32.5, ma bieguny jednokrotne w punktach zbioru Z_. Ponadto z zadania 3 marny A (1) = lim^^n + l)/n = 1 i

z A (z + 1) = lim

n—kx>

z(z + l)“-(z + n) n\n^z

z + n+1 hm -

n—»oo n

= A (z).

□

Stąd i z określenia T dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

A (z) = lim

n—>oc

gdzie n^z — e^zLogn.

Rozwiązanie. Istotnie, w myśl zadania 1, funkcja A jest całkowita. Co więcej, dla dowolnego z G C mamy