1 1 Wykład Szereg Fouriera s Letni 2011 12

Politechnika Wrocławska
Wydział Elektroniki
Wydział Elektroniki
Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki
Katedra Radiokomunikacji i Teleinformatyki
Wrocław
PODSTAWY TELEKOMUNIKACYJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACYJI
Szereg Fouriera
Szereg Fouriera
1.1. WYKAAD
1.1. WYKAAD
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
TELEKOMUNIKACYJNYCH
TELEKOMUNIKACYJNYCH
W praktyce, często jest pożądane, aby analizę obwodów
prowadzić w funkcji FIZYCZNEJ CZSTOTLIWOŚCI �,
przebiegów występujących w obwodach.
Funkcje obwodów powinny wtedy być funkcjami
Funkcje obwodów powinny wtedy być funkcjami
częstotliwości, czyli
CHARAKTERYSTYKAMI CZSTOTLIWOŚCIOWYMI OBWODÓW.
Okazuje się, że tego typu analiza CZSTOTLIWOŚCIOWA lub
WIDMOWA obwodów jest możliwa na gruncie
PRZEKSZTAACENIA FOURIER A (dyskretnego bądz
ciagłego)
Dr W.J. Krzysztofik 2
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
1.2 METODY WIDMOWE ANALIZY SYSTEMÓW
TELEKOMUNIKACYJNYCH
TELEKOMUNIKACYJNYCH
Szereg (transformatę) Fouriera można traktować
jako metodę reprezentacji pewnej klasy funkcji, w
określonym przedziale, za pomocą domkniętego,
czyli zupełnego zbioru funkcji wzajemnie
czyli zupełnego zbioru funkcji wzajemnie
ortogonalnych, do których należą:
funkcje trygonometryczne,
funkcje wykładnicze,
wielomiany Legandre a,
wielomiany Jacobiego,
funkcje Bessela
Dr W.J. Krzysztofik 3
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2 METODY WIDMOWE
1.2 METODY WIDMOWE
ANALIZY SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
ANALIZY SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
Liniowe PRZEKSZTAACENIE FOURIER A pomaga w
rozwiązywaniu wielu zagadnień dotyczących układów
liniowych i jest stosowane w różnych dziedzinach nauki.
Zastosowanie tego przekształcenia umożliwia
rozwiązywanie zagadnień zarówno fizycznych jak i
matematycznych.
Dr W.J. Krzysztofik 4
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2 METODY WIDMOWE
1.2 METODY WIDMOWE
ANALIZY SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
ANALIZY SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
Ponieważ przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości
(widma) zjawisk elektrycznych można zmierzyć, np. za
pomocą oscyloskopu i analizatora widma, zatem
TRANSFORMATY FOURIER A mają również określony
TRANSFORMATY FOURIER A mają również określony
sens fizyczny.
Widma są TRANSFORMATAMI FOURIER A przebiegów
fizycznych w dziedzinie czasu.
Dr W.J. Krzysztofik 5
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1. SZERG FOURIER A
1.2.1. SZERG FOURIER A
- WIDMO AMLITUDOWE I FAZOWE
- WIDMO AMLITUDOWE I FAZOWE
Jeżeli sygnał występujący w obwodzie elektrycznym, jest
Jeżeli sygnał występujący w obwodzie elektrycznym, jest
OKRESOWY, opisany funkcją
OKRESOWY, opisany funkcją
f(t) = f(t + kT),
f(t) = f(t + kT),
gdzie: T- okres funkcji, k = 0, ą1, ą2, &
gdzie: T- okres funkcji, k = 0, ą1, ą2, &
gdzie: T- okres funkcji, k = 0, ą1, ą2, &
gdzie: T- okres funkcji, k = 0, ą1, ą2, &
to, o ile funkcja f(t) jest przedziałami regularna lub jest
to, o ile funkcja f(t) jest przedziałami regularna lub jest
funkcją o ograniczonej zmienności w okresie T, to
funkcją o ograniczonej zmienności w okresie T, to
Można go przedstawić z pomocą SZEREGU FOURIER A,
Można go przedstawić z pomocą SZEREGU FOURIER A,
zbieżnego do funkcji f(t) prawie wszędzie w okresie T.
zbieżnego do funkcji f(t) prawie wszędzie w okresie T.
Dr W.J. Krzysztofik 6
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
Wykładniczy szereg
Wykładniczy szereg
k="
Fourier a:
Fourier a:
f(t) =
( 2.1 )
( 2.1 )
"F �" ejk�t ,
k
k=-"
T
1
1
gdzie F = f(t) �" ejk�tdt
gdzie Fk = f(t) �" ejk�tdt
+"
+"
T
0
Współczynniki Fk szeregu
Współczynniki Fk szeregu
Fourier a są wielkościami
Fourier a są wielkościami
zespolonymi:
zespolonymi:
"
Aatwo zauważyć,
Aatwo zauważyć,
F-k = Fk ; �-k = -�k
zmieniając k na k, że:
zmieniając k na k, że:
Dr W.J. Krzysztofik 7
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
DYSKRETNYM WIDMEM AMPLITUDOWYM sygnału
DYSKRETNYM WIDMEM AMPLITUDOWYM sygnału
Fk
okresowego nazywa się przebieg MODUAU -
okresowego nazywa się przebieg MODUAU -
współczynników szeregu Fourier a w funkcji k
współczynników szeregu Fourier a w funkcji k
widmo amplitudowe jest PARZYST funkcją k
widmo amplitudowe jest PARZYST funkcją k
DYSKRETNYM WIDMEM FAZOWYM sygnału
DYSKRETNYM WIDMEM FAZOWYM sygnału
okresowego nazywa się przebieg ARGUMENTU - �k
okresowego nazywa się przebieg ARGUMENTU - �k
współczynników szeregu Fourier a w funkcji k
współczynników szeregu Fourier a w funkcji k
widmo fazowe jest NIEPARZYST funkcją k
widmo fazowe jest NIEPARZYST funkcją k
Dr W.J. Krzysztofik 8
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
Korzystając ze wzorów Euler a:
Korzystając ze wzorów Euler a:
eą j� = cos (�) ą j sin (�)
można przedstawić funkcje wykładnicze w postaci funkcji
można przedstawić funkcje wykładnicze w postaci funkcji
TRYGONOMETRYCZNYCH:
TRYGONOMETRYCZNYCH:
j�
e + e- j�
cos (�) =
2
j�
e - e- j�
sin (�) =
2 j
Dr W.J. Krzysztofik 9
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
Szereg wykładniczy można przedstawić w postaci
Szereg wykładniczy można przedstawić w postaci
TRYGONOMETRYCZNEJ:
TRYGONOMETRYCZNEJ:
k="
( 2.2 )
( 2.2 )
f(t) = F0 +
"2F �" cos(k�t + j�k ) ,
k
k=1
k=1
przy czym
przy czym
T
1
F0 = f(t) dt
+"
T
0
Z przedstawionej zależności wynika, że sygnał okresowy można
Z przedstawionej zależności wynika, że sygnał okresowy można
przedstawić w postaci nieskończonej sumy składowych
przedstawić w postaci nieskończonej sumy składowych
sinusoidalnych o PULSACJACH HARMONICZNYCH:
sinusoidalnych o PULSACJACH HARMONICZNYCH:
�k = k �, przy czym �1T = �T = 2Ą
�k = k �, przy czym �1T = �T = 2Ą
Dr W.J. Krzysztofik 10
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
i AMPLITUDACH
i AMPLITUDACH
Fkmax = 2 �" Fk
W szeregu (2.2) nie występują wszystkie składowe dla
W szeregu (2.2) nie występują wszystkie składowe dla
wszystkich częstotliwości, lecz tylko o dyskretnych
wszystkich częstotliwości, lecz tylko o dyskretnych
wartościach, będących wielokrotnością częstotliwości
wartościach, będących wielokrotnością częstotliwości
podstawowej �1.
podstawowej �1.
Dlatego WIDMO AMPLITUDOWE I WIDMO FAZOWE
Dlatego WIDMO AMPLITUDOWE I WIDMO FAZOWE
nazywa się
nazywa się
WIDMAMI DYSKRETNYMI.
WIDMAMI DYSKRETNYMI.
Dr W.J. Krzysztofik 11
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREGI FOURIER A
1.2.1 SZEREGI FOURIER A
- postaci najczęściej stosowane w telekomunikacji
- postaci najczęściej stosowane w telekomunikacji
Dr W.J. Krzysztofik 12
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
Fk
WIDMO AMPLITUDOWE
Rys. 2.1.
F0
F-1 F1 F2
F-2
F-3 F3
Przykładowe widma
Przykładowe widma
Przykładowe widma
Przykładowe widma
F4 k = �k
F4 k = �k
F-4
F-4
�1
dyskretne pewnego
dyskretne pewnego
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
sygnału okresowego
sygnału okresowego
�k
przedstawiono na
przedstawiono na
Ą
�k
k =
rys. 2.1.
rys. 2.1.
�1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- Ą
Dr W.J. Krzysztofik 13
�
� WIDMO FAZOWE
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 PRZYKAAD REALIZACJI
1.2.1 PRZYKAAD REALIZACJI
SZEREGU FOURIER A
SZEREGU FOURIER A
korektor graficzny Windows Media Player
korektor graficzny Windows Media Player
Dr W.J. Krzysztofik 14
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
PRZYKAAD 2.1
PRZYKAAD 2.1
Wyznaczymy widmo przebiegu okresowego pokazanego na rys.2.2.
Wyznaczymy widmo przebiegu okresowego pokazanego na rys.2.2.
f(t)
Funkcję f(t) można zapisać:
Funkcję f(t) można zapisać:
Rys. 2.2.
Fm
t
0 T
ROZWIZANIE
ROZWIZANIE
Współczynnik rozwinięcia w szereg wykładniczy:
Współczynnik rozwinięcia w szereg wykładniczy:
T T
T
1 Fm Fm 1 1
-jk�t
Fk = �" t �" e-jk�tdt = [t �" e-jk�t 0 +
+" +"e dt] =
T T T2 - jk� - jk�
0 0
1 1
= Fm[ �" e-jk�T + (e-jk�T - 1`)]
- jk�T (k�T)2
Dr W.J. Krzysztofik 15
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.1 SZEREG FOURIER A
1.2.1 SZEREG FOURIER A
PRZYKAAD 2.1
PRZYKAAD 2.1
IFkI
Ponieważ �T = 2Ą oraz e-jk2Ą=1 :
Ponieważ �T = 2Ą oraz e-jk2Ą=1 :
F0=Fm/2
Rys. 2.3.
Fm
F-1 F1
2Ąk
2Ąk
F-2
F2
Fm Fm jĄ
F-3 F3 F4 k = �k
2
Fk = j = e , k `" 0
F-4
�1
2Ąk 2Ąk
T
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 Fm Fm
oraz F0 = �" t �" dt =
�k
+"
T T 2
0 Ą/2
�k
k =
�1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- Ą/2
Dr W.J. Krzysztofik 16
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
Wartość skuteczną definiuje się następująco:
Wartość skuteczną definiuje się następująco:
T
"
1 2
Fsk = f2(t)�" dt = Fk =
"
+"
T
k=-"
0
-1 " "
2 2 2
2 2
= F0 + Fk + Fk k-k
==== F0 + 2 Fk
" " "
k=-" k=1 k=1
Fk = F-k
Dla przebiegu sinusoidalnego: F0=0 i Fk=0 dla k>1
Dla przebiegu sinusoidalnego: F0=0 i Fk=0 dla k>1
2�" F1
Fmax
2
Fsk = 2�" F1 = ====
2�" F1 =Fmax
2 2
Dr W.J. Krzysztofik 17
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
Jeżeli przepiszemy Fsk w postaci:
Jeżeli przepiszemy Fsk w postaci:
"
2 �" Fk
2
Fsk = F0 +
"( 2 )2
2
k=1
k=1
oraz wartość skuteczną k-tej harmonicznej oznaczymy:
oraz wartość skuteczną k-tej harmonicznej oznaczymy:
" Wartość skuteczna przebiegu
" Wartość skuteczna przebiegu
okresowego jest równa
okresowego jest równa
"
2
2
pierwiastkowi z sumy kwadratów
pierwiastkowi z sumy kwadratów
Fsk = F0 +
"Fksk
wartości skutecznych wyższych
wartości skutecznych wyższych
k=1
harmonicznych
harmonicznych
Dr W.J. Krzysztofik 18
� i kwadratu składowej stałej
� i kwadratu składowej stałej
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 2 WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAAU OKRESOWEGO
PRZYKAAD 2.3
PRZYKAAD 2.3
Obliczymy wartość skuteczną przebiegu piłokształtnego z przykładu 2.1.
Obliczymy wartość skuteczną przebiegu piłokształtnego z przykładu 2.1.
ROZWIZANIE
ROZWIZANIE
2 �" F
2 �" Fk
F F
Fm Fm
Fk = = , F0 =
sk
2
2 kĄ �" 2
2
" "
Fm Fm Fm 1 1 1 1
Fsk = ( )2 + = +
" "k1 = Fm 2 + Ą2 �" Ą2 = Fm
zatem:
zatem:
2 2(kĄ)2 2 Ą2 k=1 2 6
2 2 3
k=1
lub
T
T
2
1 Fm Fm t3 Fm
Fsk =
+"( t)2dt = T3 3 = 3
T T
0
0
Dr W.J. Krzysztofik 19
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY
Reakcję układu otrzymujemy
Reakcję układu otrzymujemy
k=" "
r(t) = �"H(jk�) �" ejk�t = �" ejk�t
"Pk "Rk
k=-" k=-"
T
T
1
1
gdzie : Pk =
+"p(t) �" e-jk�tdt
T
0
Jest dyskretnym przekształceniem Fourier a funkcji pobudzenia p(t).
Jest dyskretnym przekształceniem Fourier a funkcji pobudzenia p(t).
Zatem
Zatem
Rk = Pk �"H(jk�),
H(j�) funkcja (transmitancja) układu
H(j�) funkcja (transmitancja) układu
Dr W.J. Krzysztofik 20
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
PRZYKAAD 2.2
PRZYKAAD 2.2
Wyznaczymy przebieg czasowy prądu w układzie pokazanym na rys. 2.4
Wyznaczymy przebieg czasowy prądu w układzie pokazanym na rys. 2.4
R
e(t)
Em
e (t)
e (t)
Rys. 2.4.
Rys. 2.4.
i (t)
i (t)
L
L
t
0 T
ROZWIZANIE
ROZWIZANIE
e (t) = Emt/T, dla 0 < t < T przebieg piłokształtny jak w Przykładzie 2.1
e (t) = Emt/T, dla 0 < t < T przebieg piłokształtny jak w Przykładzie 2.1
oraz FUNKCJA (transmitancja) UKAADU:
oraz FUNKCJA (transmitancja) UKAADU:
1 1
H(jk�) = =
Z�j�) R + jk�L
(
Dr W.J. Krzysztofik 21
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
PRZYKAAD 2.2
PRZYKAAD 2.2
Współczynniki szeregu Fourier a dla SEM zapiszemy na
Współczynniki szeregu Fourier a dla SEM zapiszemy na
podstawie wyników z Przykładu 2.1:
podstawie wyników z Przykładu 2.1:
podstawie wyników z Przykładu 2.1:
podstawie wyników z Przykładu 2.1:
Em jĄ Em
2
Ek = e , k `" 0, E0 =
2Ąk 2
Współczynniki szeregu Fourier a dla prądu:
Współczynniki szeregu Fourier a dla prądu:
Em jĄ 1 Em
2
Ik = e �" , k `" 0, I0 =
2Ąk R + jk�L 2 �"R
Dr W.J. Krzysztofik 22
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
1.2.3 PRZENOSZENIE SYGNAAÓW
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
OKRESOWYCH PRZEZ UKAADY SLS
PRZYKAAD 2.2
PRZYKAAD 2.2
Przebieg czasowy prądu otrzymujemy zapisując szereg
Przebieg czasowy prądu otrzymujemy zapisując szereg
Fourier a:
Fourier a:
Ą
j
" "
" "
2
2
E E e
Em Em e
i(t) = I0 + �" ejk�t = + �" �" ejk�t,
" "
"Ik "
2R 2Ąk R + jk�L
k=-" k=-"
Po przekształceniach:
Po przekształceniach:
Em " Em k�L
i(t) = - �" sin(k�t - �k ), gdzie �k = arctg
"
2R R
k=1
Ąk R2 + (k�L)2
Dr W.J. Krzysztofik 23
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2. 4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
Obliczymy całkę w okresie z iloczynu dwóch przebiegów
Obliczymy całkę w okresie z iloczynu dwóch przebiegów
okresowych f(t) i g(t), podzieloną przez okres T:
okresowych f(t) i g(t), podzieloną przez okres T:
T
1
f(t) �" g(t) �" dt
+"
T
T
0
0
Funkcje f(t) i g(t) można przedstawić w postaci szeregów
Funkcje f(t) i g(t) można przedstawić w postaci szeregów
" "
Fourier a:
Fourier a:
jk�t jn�t
f (t) = e oraz g(t) =
"F k "G e
n
k =-" n=-"
czyli
T
" "
1
jk�t jn�t
e )�"(
"F k "G e )�" dt
n
+"(
T
k =-" n=-"
0
Dr W.J. Krzysztofik 24
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
W iloczynie szeregów występują składniki z funkcją
W iloczynie szeregów występują składniki z funkcją
eksponencjalną ej(k+n)�t, przy czym (k+n)= 0 lub `" 0, zatem:
eksponencjalną ej(k+n)�t, przy czym (k+n)= 0 lub `" 0, zatem:
T
0, k + n `" 0
ńł
1
j(k+n)�t
�" dt =
�ł
�ł
+"
+"e
T
T
ół1, k + n = 0, tj. k = -n
ół1, k + n = 0, tj. k = -n
0
Wynika stąd, RÓWNOŚĆ PARSEVAL A dla dyskretnego
Wynika stąd, RÓWNOŚĆ PARSEVAL A dla dyskretnego
przekształcenia Fourier a:
przekształcenia Fourier a:
T
" "
1
f(t)�" g(t)�" dt = �"G-k = �"G"
"Fk "Fk k
+"
T
k=-" k=-"
0
Dr W.J. Krzysztofik 25
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.4 WIDMO MOCY SYGNAAU OKRESOWEGO
W szczególnym przypadku, gdy f(t) = g(t):
W szczególnym przypadku, gdy f(t) = g(t):
T
"
1 2 2
f(t) �" dt = Fk
f(t) �" dt = Fk
"
"
+"
+"
T
k=-"
0
KAśDA SKAADOWA HARMONICZNA
KAśDA SKAADOWA HARMONICZNA
MOC ŚREDNIA
MOC ŚREDNIA
NIESIE PEWN CZŚĆ
NIESIE PEWN CZŚĆ
PRZEBIEGU OKRESOWEGO
PRZEBIEGU OKRESOWEGO
MOCY CAAKOWITEJ PRZEBIEGU
MOCY CAAKOWITEJ PRZEBIEGU
Dr W.J. Krzysztofik 26
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
Rozpatrzmy obwód elektryczny pobudzony napięciem okresowym
Rozpatrzmy obwód elektryczny pobudzony napięciem okresowym
u(t), a więc takim, że
u(t), a więc takim, że
Uk = !k {u(t)}
Załóżmy, że na zaciskach na których działa napięcie u(t),
Załóżmy, że na zaciskach na których działa napięcie u(t),
rozpatrywany obwód można opisać admitancją Y(s):
rozpatrywany obwód można opisać admitancją Y(s):
rozpatrywany obwód można opisać admitancją Y(s):
rozpatrywany obwód można opisać admitancją Y(s):
Ik = !k {i(t)} = Uk �" Y(jk�)
MOC CZYNN zdefiniujemy jako wartość średnią z MOCY
MOC CZYNN zdefiniujemy jako wartość średnią z MOCY
CHWILOWEJ:
CHWILOWEJ:
T T
1 1
P =
+"p(t) �" dt = T +"u(t)�"i(t)�" dt
T
0 0
Dr W.J. Krzysztofik 27
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
Ponieważ zarówno napięcie jak i prąd są przebiegami okresowymi,
Ponieważ zarówno napięcie jak i prąd są przebiegami okresowymi,
istnieją dla nich DYSKRETNE PRZEKSZTAACENIA FOURIER A.
istnieją dla nich DYSKRETNE PRZEKSZTAACENIA FOURIER A.
Dla całki w okresie z iloczynu funkcji można zastosować
Dla całki w okresie z iloczynu funkcji można zastosować
TWIERDZENIE PARSEVAL A
TWIERDZENIE PARSEVAL A
T
T
"
"
1
1
P = �"I" =
"Uk k
K
+"! {u(t)} �" !K {i(t)} �" dt =
T
k=-"
0
" -" "
= U0I0 + �"I" + �"I" = U0I0 + �"I" + U-k �"I"k )
"Uk k "Uk k "(Uk k -
k=1 k=-1 k=1
Dr W.J. Krzysztofik 28
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
Podstawiając zespolone wartości napięcia i prądu:
Podstawiając zespolone wartości napięcia i prądu:
U I
k k
Uk = Uk �" ej� oraz Ik = Ik �" ej�
Otrzymujemy:
Otrzymujemy:
Otrzymujemy:
Otrzymujemy:
" "
" "
2U 2I
2Uk 2Ik
P = U0I0 + Uk �" Ik �" cos�k == U0I0 + �" �" cos�k =
" "
2 2
k=1 k=1
" "
= U0I0 + �"Isk �" cos�k = P0 +
"Usk "Pk
k=1 k=1
MOC MOC CZYNNA
SKAADOWEJ STAAEJ K-TEJ HARMONICZNEJ
Dr W.J. Krzysztofik 29
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
1.2.5 MOC CZYNNA SYGNAAU OKRESOWEGO
PRZYKAAD 2.4
PRZYKAAD 2.4
Obliczymy moc czynną w obwodzie z przykładu 2.2.
Obliczymy moc czynną w obwodzie z przykładu 2.2.
R=1&!
Em=1V, �=5 rd/s.
Em=1V, �=5 rd/s.
e (t)
L=
ROZWIZANIE
ROZWIZANIE
1H
P0=E0 I0 = 0,5 E 0,5 E /R = 250 mW
P0=E0 I0 = 0,5 Em 0,5 Em/R = 250 mW
P =E I = 0,5 Em 0,5 Em/R = 250 mW
P =E I = 0,5 E 0,5 E /R = 250 mW
1 1 1 Ą Ą
Pk = EkskIksk cos�k = �" �" cos[arctg - arctg + arctg5k] E"
2 2
kĄ 2 kĄ 2
1+ 25k2
1 1
E" �" cos(arctg5k)
2Ą2 k2 1+ 25k2
Tak więc: P1= 1,948 mW; P2=0,1254 mW; P3=0,0249 mW; P4= 15,7 �W;
Tak więc: P1= 1,948 mW; P2=0,1254 mW; P3=0,0249 mW; P4= 15,7 �W;
P5=7,2 �W; P = 252 mW
P5=7,2 �W; P = 252 mW
Dr W.J. Krzysztofik 30
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
Pojęcie MOCY POZORNEJ i MOCY BIERNEJ dla dowolnych
Pojęcie MOCY POZORNEJ i MOCY BIERNEJ dla dowolnych
przebiegów okresowych wprowadza się przez analogię do
przebiegów okresowych wprowadza się przez analogię do
przebiegów sinusoidalnych.
przebiegów sinusoidalnych.
MOC POZORNA
MOC POZORNA
S = UskIsk
S = Usk Isk
S = UskIsk
S = UskIsk
MOC BIERNA (k-tej harmonicznej)
MOC BIERNA (k-tej harmonicznej)
"
Qk = Uksk Iksk sin �k czyli
Qk = UkskIksk sin �k czyli
Q =
"Q
k
k=1
Dla k-tej harmonicznej Pk2+ Qk2 = Uksk2Iksk2= Sk2
Dla k-tej harmonicznej Pk2 + Qk2= Uksk2 Iksk2 = Sk2
Dr W.J. Krzysztofik 31
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
MOC ODKSZTAACENIA
MOC ODKSZTAACENIA
" "
T = S2 - (P2 + Q2) =
""U Ik [Ui Ik - Uk Ii cos(�i - �k)]
isk sk sk sk
sk sk
i=0 k=0
k`"i
Tak więc, w przypadku okresowych przebiegów działających
Tak więc, w przypadku okresowych przebiegów działających
w obwodzie SLS, miedzy mocami zachodzi zależność:
w obwodzie SLS, miedzy mocami zachodzi zależność:
S2 = P2 + Q2 + T2
S2 = P2 + Q2 + T2
Dr W.J. Krzysztofik 32
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
1.2.6 MOC POZORNA, BIERNA I ODKSZTAACENIA
PRZYKAAD 2.5
PRZYKAAD 2.5
Obliczymy moc odkształcenia T w obwodzie R, L z przykładu
Obliczymy moc odkształcenia T w obwodzie R, L z przykładu
2.4.
2.4.
1 1
Qk = Ek Ii sin�k = �" sin(arctg5k)
MOC BIERNA
MOC BIERNA
sq sk
Ą2 k2 1+ 25k2
"
Q =
Q =
"Q = 11,71 mVAr
"Q = 11,71 mVAr
k
k=1
MOC POZORNA
MOC POZORNA
"
1 1
Sk = Ek Ii = �" ; S = E0I0 +
"S = 261,8 mVA
k
sq sk
2Ą2 k2 1+ 25k2
k=1
MOC ODKSZTAACENIA
MOC ODKSZTAACENIA
T = S2 - (P2 + Q2) = 69,58 mVA
Dr W.J. Krzysztofik 33
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
1.2.7 PRZEBIEGI OKRESOWE NIESINUSOIDALNE
Przez analogię do
Przez analogię do
przebiegów sinusoidalnych
przebiegów sinusoidalnych
można wprowadzić
można wprowadzić
P
cos Ś =
WSPÓACZYNNIK MOCY:
WSPÓACZYNNIK MOCY:
S
W praktyce często
W praktyce często
Napięcie pobudzające jest
Napięcie pobudzające jest
U1skI1sk cos�1
sinusoidalne, a
sinusoidalne, a
cosŚ = = k0 cos�1
Prąd (reakcja) jest
Prąd (reakcja) jest
UskIsk
okresowy odkształcony
okresowy odkształcony
WSPÓACZYNNIK ODKSZTAACENIA
WSPÓACZYNNIK ODKSZTAACENIA
bo
W takich wypadkach
W takich wypadkach
możemy zapisać:
możemy zapisać:
I1sk
U1sk = Usk, k0 = < 1
Isk
Dr W.J. Krzysztofik 34
�
�
�
�
�
�
�
�
1.1 Podstawy Telekomunikacji

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1 2 Wykład Transformata Fouriera s Letni 2011 12
RRCz, Szeregi Fouriera i Przestrzenie Hilberta Jakobczyk p41 pIRX
Prace 2011 12 v1
gm geograficzny szkolny zadania 2011 12
PRAWO WYKLAD VII 06 02 2011 1
cke 2011 12 czerwiec PR arkusz
CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 6 3 Szeregi Fourieraatematyczna
Biologia Egzamin praktyczny 2011 12 MAKRO
sf1 zadania na kartkówkę z szeregów fouriera rozw
Egzamin Teoria Wykład 01 (10) 14 (15) v 0 12 63 BETA
Szereg Fouriera 2
(UW MPZ 2011 12 wyk I [tryb zgodno ci])
Pig 2011 12, cz 1
Bieńkowska i inni Wykład Prawa Karnego Procesowego Ro 12
cke 2011 12 maj PP arkusz
zimaKat 2011 12

więcej podobnych podstron