IIla
\!k
Kryterium £mt£ĆS!SS>
Jeżeli granica ciągu V ' istnieje i j est mniej sza od 1, to szereg jest
zbieżny; j eżeli granica taj est większa od 1, szeregj est rozbieżny.
Kryteriumnie przesądzanie o zbieżności szeregu wprzypadku gdy odpowiednia granica (lub grani ca górna) jest równa 1.
KryteriumQ®£MS£9Jest silniej sze niżloyterium^^gjją,-jesTi szereg spełnia warunek kryteriumto spełnia warunekale na odwrót.
Kry terium porównaw cze - używamy szeregówhamronicznych!
Jeżeli wyrazy szeregu spełniają odpewnegoNnierówność a. szeregi- jest
zbieżny, to również szeregi-j est zbieżny (i to - oczywiście - bezwzględnie).
Jeżeli natomiast wyrazy szeregu Jjfa spełniają odpewnegoN nierówność <z, >&> 0 i szereg£^jestrozbieżny, to również szereg est rozbieżny.
Kryterium zagęszczania - załóżmy, że szereg.j est taki, że ciąg as j est monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg a&J&C::t0 zbieżnyj est szereg^-
Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównaw czym w postaci granicznej) Jeżeli mamy szeregi £ą*. JJ^i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) j ednego z nich. oraz 0 < (a* fe^)<co: to diugi z nich j est tego samego typu.
Ponadto:
Jeżeli (a£%)=0i B>dest zbieżny,to lą^jest zbieżny.
Jeżeli to-*, (a* W =00 i IśU jest zbieżny, to 5j»j est zbieżny.
Kryterium Leibniz a-jeże// ciąg (a^ spełnianasiępujące dwawarunki:
lim a n = 0
1. 72—*00
2. cią g a. j e st niero sną cy (o d p ewnego momentu)
E(-l)"(«»)
to szereg 71 —0 jest zbieżny.
Kry- terium jeżeli szereg£ą-j est zbieżny, a ciągfl?-)jest monotoniczny i
ograniczony, to szereg.^j^J est zbieżny.
Kry- terium JMkllta-jeżeli mamy dany szereg p o stad SśUfea* g^216 ciąg (aa) j est monofoniczny i zbieżny do O, zaś ciąg sumczęściowychszeregu^^jest ograniczony, to szereg Z&bj est zbieżny.
Zbieżność bezwzględi a-szereg £ą-j est zbieżny bezwzględniej eżeli zbieżnyj est szereg. Jeżeli dany szeregj est zbieżny bezwzględnie, to j est on również zbieżrr,- w normalnym sensie. Jeżeli szeregj est zbieżny, a niej est zbieżny bezwzględnie wtećK-szeregj est zbieżny warunkowo.
Definicja Heinego granicy wlaściwej funkcji f
lim*-a/CO = 9 ** [OimR^xn = a) -* (lim«,*/(*„) = 5): g<ki* a 6 {xo, xO+, xO-,oo. -cc. g G R.
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji f
li«V-« fOO = A «Vrn [(lim*_^xn = a) -» (lim«_*,/(*„) = A]), gdzie a € {xo, xO+, xO-.cc.-cc. zaś A- cc. -30.
Fakt o istnieniu granicy funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi xr. xr spełniające warunki: ajlim*^ xr = x0,przy czymxr = x0 Vn € N
b) lim^^ xn = x0,przy czymxn =£ x0 V n e N
c) limr_^/(xn ) =£ limn^ /(xn) to granica Iimn^/(x) nie istnieje.
Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy
Funkcj a f ma wpunkcie xo granicę właściwą lub nie właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy lim /(x) = lim f(x)
Wspólna wartość granic jednostronnychj est wtedy- granicą funkcji.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
44 I. Teoria granic Jeżeli wartości bezwzględne wyrazów ciągu {x„} dążą do nieskończoności, to
GRANICA2 lim an = g:<=> V 3 V d(an,g) <£ (-jest to def granicy ciągu w przestrzeń i metryc
PB032261 129 Granica ciągu liczbowego DEFINICJA 2.12 Liczbę O nazywamy granicą ciągu (a„) wtedy i ty
IMGD28 64 Władysław Jacher ~ podfożu wymiany usług w grupie i określa granice, w jakich istnieje wza
Kompendium Wiedzy geografii 47 Przyjmując kryterium genetyczne, granice można podzielić na: 1)
matma egz002 b) Moment bezwładności jednorodnej (o gęstości pm = 2) bryły V względem osi OX jest gra
egx2 1. Podać def granicy ciągu i na podstawie tej def. wykazać, że »-*00 n +1 2. Podać wszystkie sy
egx3 lim 1. Podać def. granicy ciągu i na podstawie tej def wykazać, ze i // -f* 3 i I I. I - S — ■■
egzaminza3 1. Na podstawie definicji granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej wykazać, że 2 n3 —
4 Ciąg i granica ciąguZestaw 4. Ciąg i granica ciągu Zadanie 4.1. Napisać pięć pierwszych wyrazów ci
4 Ciąg i granica ciągu y) lim /2n + 3n z) lim v^4n2 + n + 5 aa) jis, y(i)“+(!)”+(§) ah) lim
5 Granica i ciągłość funkcji Zadanie 5.6. Obliczyć następujące granice (o ile istnieją): (1-1 )y/T=i
więcej podobnych podstron