Grobler7

180

II. Struktura nauki

czyli każdy element M_pp jest podmodelem, „warstwą" jakiegoś elementu M_p. McM_p jest ogółem tych światów logicznie możliwych, których nie wyklucza teoria (ogółem światów teoretycznie możliwych). C jest klasyfikacją światów M na klasy światów współmożliwych. / jest zbiorem tych rzeczywistych obserwowalnych warstw światów, do których teoria powinna się stosować (hipotetycznie się stosuje).

Każdy elemenPt e M_p (możliwy świat) jest ciągiem < n_v ..., n_m, t_v ..., t_k > m + k funkcji, m > 0, k > 0, odpowiednio nieteoretycznych i teoretycznych. Funkcje teoretyczne są to funkcje, których wartości nie można obliczyć bez posłużenia się rozpatrywaną teorią. Funkcje nie-teoretyczne są to te funkcje, których wartości można wyznaczyć w sposób niezależny od rozpatrywanej teorii, aczkolwiek - zgodnie z tezą o uteoretyzowaniu obserwacji - każdy sposób jest zależny od jakichś teorii. Każdy element y e jest podciągiem <n_y ..., n_m> funkcji nieteoretycznych jakiegoś A' e M_p. M jest pewnym podzbiorem M , zaś C - pewnym podzbiorem zbioru potęgowego (zbioru wszystkich podzbiorów) M_p takim, że (1) 0 g C, (2) x e M_p -» {x} e C, (3) X s C a y c I -+ F e C. To znaczy C jest zbiorem zbiorów światów współmożliwych: (1) pusty zbiór światów nie jest zbiorem światów współmożliwych, (2) każdy pojedynczy świat jest współmożliwy z samym sobą, (3) każdy podzbiór zbioru światów współmożliwych jest zbiorem światów współmożliwych. Z kolei I jest pewnym podzbiorem M .

^pp

Przykład: klasyczna mechanika punktu materialnego w ujęciu niezdanlowym

Tę wysoce abstrakcyjną definicję zilustruję przykładem dobrze znanej teorii, klasycznej mechaniki punktu materialnego. Każdy element zbioru modeli potencjalnych tej teorii, x e M_p, jest trójką x = <5, m, f> funkcji położenia, masy i siły. Funkcja położenia s jest określona na iloczynie kartezjańskim P ■ T pewnego zbioru P punktów materialnych i pewnego przedziału czasowego T i przyjmuje wartości z R³, to znaczy jej wartościami są trójki liczb - współrzędne danego punktu materialnego w danej chwili. Funkcja masy m jest określona na zbiorze punktów materialnych P (tym samym, który jest lewą dziedziną funkcji położenia) i przyjmuje wartości liczbowe nieujemne. Funkcja siły f jest funkcją wektorową, określoną na P ■ T • N, gdzie P i T są te same co poprzednio, N jest zbiorem liczb naturalnych; fip, /, n) = (f_{(p, t, ń), f₂(p, t, n), f₃(p, t, n)), czyli dla każdego punktu materialnego p s P, dla każdej chwili t e T i każdej liczby naturalnej n funkcja f przyjmuje wartość bę-

9. Koncepcja niezdaniowa teorii naukowych

181

dącą wektorem⁵⁸. Zatem każdy element zbioru modeli potencjalnych klasycznej mechaniki punktu materialnego przedstawia możliwą historię pewnego możliwego zbioru punktów materialnych P w jakimś możliwym odcinku czasu T, historię, która rejestruje siły (ponumerowane liczbami naturalnymi) działające na każdy punkt materialny z P w każdej chwili z T, masę każdego punktu materialnego i jego trajektorię czasoprzestrzenną w odcinku czasu T.

Funkcje siły i masy są funkcjami teoretycznymi w tym sensie, że nie można wyznaczyć ich wartości bez odwołania się do udanych zastosowań klasycznej mechaniki punktu materialnego. Natomiast wartości funkcji położenia można wyznaczyć w sposób niezależny od klasycznej mechaniki punktu materialnego, na przykład za pomocą metod optycznych (które są oczywiście zależne od teorii optyki). W związku z tym każdy element zbioru częściowych modeli potencjalnych,^ e jestjednoelementowymciągiem <s> funkcji

położenia takiej, która występuje w jakimś x e M_p. Każdy element M_pprzedstawia zatem możliwą historię pewnego możliwego zbioru punktów materialnych P w jakimś możliwym odcinku czasu T, ale historię, która rejestruje tylko ich ruchy, czyli „obserwowalne” trajektorie czasoprzestrzenne punktów materialnych z P, pomijając to, co „ukryte pod powierzchnią zjawisk": siły i masy, od których te ruchy, według teorii, zależą.

Zbiór modeli właściwych (zwany inaczej prawem teorii) M jest podzbiorem M_p, do którego należą, i tylko one, modele spełniające warunek:

(\/peP)(VteT)[2,_ieNf (p, t, i) = m{p) • ds²(p, t)/di²],

gdzie ds²(p, t)/dt² oznacza drugą pochodną funkcji położenia s względem t (czyli czasu). Innymi słowy, ds²(p, t)/dt² jest funkcją przyspieszenia. Ponieważ lewa strona równania dla ustalonego p i t oznacza wypadkową wszystkich sił działających na punkt materialny p w chwili t, warunek, o którym mowa, jest sformułowaniem dobrze znanej drugiej zasady mechaniki. M jest podzbiorem M_p ta-

^ss Zmienna beN umożliwia uwzględnienie działania wielu sił na ten sam punkt materialny w tej samej chwili. Założenie, że liczba działających sił jest skończona, można wyrazić warunkiem: (3n₀)(Vp)(Vt)(V«)[n > «₀ -> f(p, t, n) = 0],