img461 (2)

Jeżeli teraz x = 55, to szybkość zmiany odległości obrazu będzie równa

^y'⁽55)=-(5Ąs-°'⁰¹'

Znak „minus" we wzorze pochodnej oznacza, że zwiększenie (zmniejszenie) odległości przedmiotu od soczewki powoduje zmniejszenie (zwiększenie) odległości jego obrazu od tej soczewki. Ostatni wynik oznacza zatem, że jeśli ustawimy przedmiot w odległości 55 cm od soczewki, to zwiększenie (zmniejszenie) odległości przedmiotu o każdy centymetr spowoduje zmniejszenie (zwiększenie) odległości obrazu o 0,01 cm.

PRZYKfAD 8.

Wyznaczmy pochodne funkcji:

a)    /(*) =

b)    /(x) =

jx2	dla x < 0
[-X3	dla x > 0
-X2	dla x < 0
'to*	dla x > 0

x³    dla x ś O

c)/(x) =

Vx    dla x > O

Ad a) W przypadku funkcji określonych kilkoma wzorami pochodną obliczamy w następujący sposób: najpierw wyznaczamy pochodną na każdym z przedziałów otwartych, występujących we wzorze tej funkcji. Następnie sprawdzamy różniczkowalność w punktach, w których funkcja zmienia swój wzór.

Ponieważ (x²)' = Zx i (-x³)' = - 3x², więc wiemy już, że:

2x    dla x < 0

-3x²    dla x > O

Należy teraz zbadać różniczkowalność funkcji / w punkcie x₀ = O. Możemy to zrobić dwoma sposobami.

Sposób I

Stwierdzamy najpierw, że funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = 0 (uzasadnij to!). Następnie sprawdzamy, czy istnieją pochodne jednostronne funkcji w tym punkcie:

_tm f<*>+x)-m _{= Xm} o

h-»0    /i->0 h

,.    f(K₀+h) - /fe)    h' - 0    . _A

|_im ——-—= lim_-= lim h = 0

h—>0    l~j    h—>0    l~i    h—>0

Tak więc pochodne prawostronna i lewostronna w tym punkcie istnieją i są sobie równe, co oznacza, że istnieje pochodna naszej funkcji w punkcie x₀ = O i /'(O) = O.

Sposób II

Stwierdzamy również, że funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = O. Następnie sprawdzamy, czy oba wzory występujące w obliczonej dotąd pochodnej są „zgodne" w punkcie x₀ = O. Obliczamy w tym celu:

lim₊/'(x) - lim ₊ (-3x²) = O;

h-*0 ^J v ’    h->0 ^v lim f'(x) = lim (2x) = O.

h->0 ^J V '    ^v

Obie powyższe granice są skończone i równe sobie, funkcja / jest ciągła w punkcie x₀ = O, więc wspólna wartość obu granic jest wartością pochodnej

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
img461 (2) Z optyki wiemy, że musi być tern w naszym przypadku1=1 + 1, skąd
55 (140) 61 Rozdział 2 61 Rozdział 2 pmwwmpw** nc do innych metod obróbki cieplno-chemicznej, z tym
img471 (3) Tym razem f (c) < O, a więc Iloczyn po prawej stronie Jest ujemny, skąd wynika, że mus
94296201 546 S. KOZNIEWSKI stronę, że musi być prowadzone prawie stale, albo bardzo często powtarz
Są zawody, w tym zawód nauczyciela i zdarzenia krytyczne, które uzmysławiają nauczycielowi, że musi
IMG$19 POSTULATY KOCHA 1.    Mikroorganizm musi być regularnie izolowany z 
19630 Strona016 2. O stronniczości metaforycznej Przyjęliśmy, że między kulturą badającą, w naszym p
tego rodzaju profili z drewna klejonego warstwowo musi być bardzo staranne. W przypadku sklejanych p
img112 Podziałka t musi być taka sama w obu płaskownikach, również ze względów wytrzymałościowych.
skanuj0011 (441) RYBY Czy ktoś może Państwu powiedział, że zapiekanka zawsze musi być z mięsem?
Cel strategiczny dla WSG 4) Nauczanie studentów musi być oparte na uniwersalnym systemie wartości, z

więcej podobnych podstron