86205 Obraz3 (118)

p = —grad_r//(p,r), r = grad_p//(p,r)

(14.4)

(14.5)

i wykorzystując funkcję Hamiltona

H = +eA)² + V. (14.6)

2m₀

Energia potencjalna elektronu V jest związana z potencjałem elektrycznym V wzorem V= -eV.

W tym miejscu warto przypomnieć, że w teorii kwantowej zawsze zaczynamy od hamiltonianu. W punkcie 9.3.4 widzieliśmy, jak w mechanice kwantowej funkcja Hamiltona jest przekształcana w odpowiedni operator (hamiltonian) z wykorzystaniem reguły Jordana, zgodnie z którą pęd jest zastępowany przez

p-»—grad. (14.7)

Stosując tę metodę, otrzymujemy operator Hamiltona w postaci

X = grad+e a1 + V. (14.8)

L 2ot₀ i J

Wykonując mnożenia w członie kwadratowym, pamiętamy o konieczności zachowania odpowiedniej kolejności czynników i otrzymujemy

ti łte _A■-—V² + -—rAgrad+

2m₀ 2m₀i 2m₀i

fie e²A²

rgradA + —— 2mii

+ V.

(14.9)

Stosując różne operatory, musimy być ostrożni, ponieważ pamiętamy, że operator 3P ma działać na funkcję falową ty. Zatem

musimy interpretować jako

grad A grad (A ty).

(14.10)

(14.11)

Różniczkując iloczyn w wyrażeniu (14.11) i ponownie stosując (14.7), otrzymujemy hamiltonian w postaci

V² + —A*p+ „

2 m₀ m₀ 2m₀i

.. . e²A²divA + -^-+ V.

2 m₀

(14.12)

(Stosowane tu operatory: gradient, dywergencja i rotacja są wektorowymi operatorami różniczkowymi, które często zapisuje się w skrócie, stosując symbol V(nabla): V/= grad f V-F = divF, V x F = rotF oraz V ■ V/= V²/ = laplasjan /. Symbol / oznacza tu funkcję skalarną, a F — wektorową.)

Tak jak zwykle w tej książce, przyjmujemy, że stałe pole magnetyczne B działa w kierunku osi z:

B = (0,0,B₂). (14.13)

257