s56 57
56
W zadanich 1—8 skorzystamy z twierdzenia de 1’Hóspitala: Jeżeli 1° funkcje oraz {7^ są określone w pewnym sąsiedztwie punktu Xo,
2° lim f(x) = lim h(x) — 0 albo lim f(x) = lim h(x) = 00 (—00 lub 00),
X —>X() X—rX() X—*Xo X—*Xq
/'(*)
h'(x)
3° istnieje granica lim
X—?X(I
(właściwa lub niewłaściwa),
to istnieje również granica , oraz
lim
*-**o
f(x)
h(x)
lim
x —>xa
Twierdzenie de 1’Hóspitala jest również prawdziwe dla granic jednostronnych, a także dla granic funkcji, gdy x —> —00 lub gdy x —> 00.
Rozwiązania
1. Jest to wyrażenie nieoznaczone Stosując tw. de 1’Hóspitala mamy
2.
e — e e + e
hm - = lim -
x —0 X x—rO 1
2. Mamy tu do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym a więc
1
lim
x—oc ln(l + x) na podstawie tw. de 1’Hóspitala.
= lim
l+x
= lim (1 + x) = 00,
3. Jest to wyrażenie nieoznaczone postaci ”0 • oo“. Aby zastosować twierdzenie de 1’Hóspitala, wyrażenie nieoznaczone ”0 • 00“ należy sprowadzić do postaci ”jj“ lub Mamy więc
lim \fx ln x = lim —r— — lim —r-^—7
x—*0+ x^0+ -y= x—*0+ — 1
l
= lim —— = lim (—2y/x) = 0.
x—»0+ — x —0+
2Xy/X
4. Podobnie jak w poprzednim zadaniu mamy wyrażenie nieoznaczone ”0 • oo“. Wyrażenie to przedstawiamy w równoważnej postaci ” — “ i potem dwukrotnie
stosujemy twierdzenie de 1’Hóspitala, otrzymując:
lim x4e 2ir
, x4 4x3
hm r r = lun -—5-5-»oł ezi r.—nx> Axe-1
lim
x—foc
lim
X —*oc
2x
Axe2rl
lim
2e2'
= 0.
Jest to wyrażenie nieoznaczone postaci ”oo — oo“. Przekszałcamy je do post; ” ~ “ sprowadzając do wspólnego mianownika i potem stosujemy twierdzenie 1’Hóspitala, otrzymując:
Urn (± - -U -
J —0 \ X1 xtgx )
lim = lim
- 1
lim
-o x-igx ..i-o 2xtgx + 1 — cos2 x
o 2x sin x cos x + x'2 2 sin x cos x
= lim
= lim
sin" x
-o x sin 2x + x2
o sin 2x + 2x cos 2x + 2x sin 2x
= lim
ji—o sin 2x + 2x cos 2x 4- 2x 2 cos 2x
= lim
o 2 cos 2x + 2 cos 2x — 4x sin 2x + 2
<>. Jest to wyrażenie nieoznaczone ”1°°“; można je przekształcić do postaci:
lim ln(cos2x)*'
j: — 0+
e
_1_ yr
lim (cos 2x) ’= lim eln(cos2j:)
x—x—*0+
Obliczymy teraz granicę potęgi sprowadzając ją do postaci ”2“, a następu stosując twierdzenie de 1’Hóspitala otrzymujemy
lim ln(cos 2x)r o+
= lim — ln cos 2x
0+ X1
, ln cos 2x
lim -^-
j,_o+ x-
_2 sin 2.r
lim .......c<^-'-
j:-*0+ 2x
—2sin2x = lim -
a:—o+ 2x
lim
j: —0+
—4 cos 2x 2
a stąd mamy
lim (cos2x);“' = e-2. *->o+
7. Mamy wyrażenie postaci ”0°“. Postępujemy podobnie jak w zadaniu poprzei nim, mianowicie
—4— , T+fc; lim lna-1^1
lim x = lim eInx = ex—o+
x —0+ x—t 0+
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
s56 57 56 W zadanich 1—8 skorzystamy z twierdzenia de 1’Hóspitala: Jeżeli 1° funkcje oraz {7^ są okr
MATEMATYKA127 244 V. Całka oznaczona TWIERDZENIE l.l (warunek konieczny calkowalności). Jeżeli f jes
O?łkowaniu przez podstawianie Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie Jeżeli/jest funkcją ciągłą
ca2 Rozdział 9 Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Jeżeli/jest funkcją ciągłą, a ę ma ciągł
s 56 57 56 ROZDZIAŁ 3 W Konstytucji RP podzielono wolności oraz prawa człowieka i obvvv tela na trzy
egzamin matma ZADANIA 1) (3p+5p) Podać twierdzenie Kroneckera - Capellego i rozwią
Foto1 w OB 1 oraz 0635 KWłZO0WOftMW0ft,57 Ponieważ blok OB 1 posiada najniższy prtoiyiel Irówny U
s 56 57 56 ROZDZIAŁ 3 W Konstytucji RP podzielono wolności oraz prawa człowieka i obvvv tela na trzy
Zadanie 1. (0-5) U dyszy SI dwukrotnie pięć tekstów. W zadaniach 1.1 .—1.5., na
Zadanie 1. (0-6) Usłyszysz dwukrotnie dwa tekst} . W zadaniach 1.1.—1.6.. na podstawie informacji za
2011 11 07 57 56 Podstawowe metody uwierzytelniania tożsamości użytkownika (podmiotu) 1. &nbs
Zadanie domowe Wykorzystując aksjomaty i twierdzenia algebry Boole a dowieść następujących
ELEKTRONIKA zbiór zadań cz 1 przyrządy półprzewodnikowe str 100 101 100 EUktromka. Zbiór zadań moż
więcej podobnych podstron