78

Rozdział 4- Ciągi i szeregi

4.4. Szeregi funkcyjne

00

Twierdzenie 4.71. Niech będzie dany szereg potęgowy J2 an%ⁿ- Jeśli

n=O

Przykład 4.75. W p

Zrobimy to również tei

A = lim \J\a_n\,

n—»00

to promień zbieżności r = 4. Przyjmijmy, że r — +00 dla A = O, a r = 0 dla A — Too.

Twierdzenie 4.71 jest konsekwencją kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów. Analogiczne twierdzenie otrzymamy, gdy odwołamy się do kryterium d’Alemberta.

oc

Twierdzenie 4.72. Niech będzie dany szereg potęgowy    ^anXⁿ. Jeśli

n—0

lim

n—>0c

(n+1)!

(n+l)ⁿ⁺¹

n!

ri^a

lim

n—>00

Zatem promień zbieżne

jest rozbieżny dla x = zbieżny dla x G (-e, e)

Zadania

lim

n—>00

^an+l

to promień zbieżności r — 4. Przyjmijmy, że r — +00 dla A = 0_; a r = 0 dla A — Toc.

4.1. Posługując się del

n² +1 _ 1

TO" “ ^

n+1 _ 1

2n —1    2

n²+l _ n

TO

Przedstawmy kilka szeregów potęgowych, dla których znajdziemy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których szeregi te będą zbieżne.

Przykład 4.73. Rozważmy szereg Y) fn- Wtedy lim \ jk = lim 4 = 4-

n—>oc V ^H n—»00 ^ ^H

Zatem promień zbieżności szeregu wynosi 4. Oznacza to, że szereg jest zbieżny dla x 6 (—4,4), a rozbieżny dla x € (—00,—4) U (4,+00). Jeśli x = 4,

00

to otrzymamy szereg ^ 1. Jeżeli natomiast x = —4, to otrzymamy szereg

n=l

⁰⁰ (-Ą)n    ⁰⁰

^ Ąn = ]T) (—l)ⁿ- Oba szeregi nie spełniają warunku koniecznego, zatem

n=l    n=l

oc

są rozbieżne. A zatem szereg ^ jest zbieżny dla x G (—4,4), a rozbieżny

n=l

dla x G (—00, —4] U [4, +00).

00

Przykład 4.74. Rozważmy szereg n\xⁿ. Wtedy

n= 1

T    (^ 4“ 1)!    ..    ,    V

hm -j— = hm (n + 1) = +00.

n—»oc    Ti;    n—>00

Zatem r = 0. Szereg ten jest zbieżny dla x = 0, a rozbieżny dla igM \ {0}.

4.2. Niech a_r wykazać, że:

a, b_n

a.    a_n + 3 —> a + 3,

b.    an T 2 —> oJ T 2,

c.    a\ + a_nbl -> a² +

d.    2a_nb_n T n_n —» 2g1

e.    a_n6^ - bl + 2 -►<

Obliczyć granice n

(2—n)²n

4.3. a_n — 6_n-3n'²+2n^J’

, _A _ TO+³) 4.4. &n — n+i

4.5. q>yi

2 _ A

\/n²+3 2n—1

4.6.

n⁴— 2n+l ^ -n³— n⁴