skanuj0010 (291)

72 Rozdział Ą. Ciągi i szeregi

Twierdzenie 4.52. (kryterium d’Alemberta⁵ zbieżności szeregów). Dany jest ciąg (a_n)^₌₁, (a_n) G R, a„ / 0.

(1) Jeśli lim , | < 1, to szereg V a_n jest bezwzględnie zbieżny.

(2) Jeśli lim , ^f r > 1, to szereg V) a_n jest rozbieżny.

n—»oo \^an\

Przykład 4.53. Szereg ^ jest zbieżny, ponieważ

n=l

lim -= 0 < 1.

n-+oo n+1

(+T)! 2ⁿ⁺¹ n! 2-2" n\

lim -—on = lim 7-—7 • — = lim ——-- • —

n—»oo A- n—>oo (n Tl)! 2ⁿ n—>00 n\(jl + 1) 2ⁿ

Uwaga 4.54. Przy okazji otrzymujemy, na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregu, że lim — o. Popatrzmy ogólniej na powyższe spostrze-

n—>00 ⁿ-

żenie. By dowieść, że lim a_n = 0, wystarczy pokazać, że szereg V) a_n jest

n->°° „=1

zbieżny, na przykład na podstawie kryterium Cauchy’ego lub d’Alemberta.

OO n

Przykład 4.55. Szereg 'jTj ^co^i^l jest bezwzględnie zbieżny. Zauważmy naj-

n= 1

pierw, że szereg ^2 jest zbieżny, gdyż

n= 1

lim

n—*00

(n+1)!

= lim

lim

n—>oc n!(n 4- 1) n—>00 n+1

= 0 < 1.

Możemy również oszacować • ^co^,ⁿ I ^ zatem - zgodnie z kryterium

OO n

porównawczym - szereg | ^co^ | jest zbieżny, co daje zbieżność bezwzględną

n= 1 00

szeregu £

71=1

Nie wszystkie szeregi zbieżne są bezwzględnie zbieżne.

Definicja 4.56. Szereg ^ a_n nazywamy warunkowo zbieżnym, jeśli szereg

n=l

a_n jest zbieżny, a nie jest bezwzględnie zbieżny.

n=l

°Jean d’Alembert (1717-1783), francuski filozof i matematyk; jego prace matematyczne dotyczyły głównie równań różniczkowych.