, ,_N,OWA PH00N02Ą ftBEPNtOKWAPBArOWA SYGNAŁÓW STAC^^nN^.' REKUnEMCYJNĘ METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU PROGNOZY

48

c(0)

«2,l = ^fll,l ł‘P2«l.l —

c(!)

cm -

c(0)

c(0)

(■-08)’)

cm-^

£0)

c(0)

"2.2 = ~

c(0)(l-($D )

= /?f{i - (Ą) =

= C(0) I

U(0).

I -

c(0)

i iak dalej Jak widać z przykładu

•    współczynniki {"„.Jjż? (U odpowiedzi impulsowe filtrn prognozującego dla _n _ | *jv) wyrażają się wyłącznie poprzez wartości funkcji kowariancji obserwowanego sygnału - w tym sensie należy rozumieć stwierdzenie, że filtr optymalny jest dopasowany do sygnału, gdyż każdorazowa zmiana statystyk sygnału powoduje zmianę odpowiedzi impulsowej (a tym samym transmitan-cji) optymalnego filtru prognozującego;

•    analizując wyrażenia okre

prawa jakości estymacji zależy od przebiegu funkcji kowariancji sygnału, przykładowo:

-jeśli we wzorze określającym wartość <:( 1) spełnia warunek c{ 1 )< c(0). to poprawa jakości estymacji w pierwszym kroku jest mała; do podobnego wniosku można dojść również analizując analogiczną relację między c(2) a c(l) we wzorze określającym R\.

-jeśli natomiast jest spełniony warunek c{ I) ~ c(0) w pierwszym, a c(2) ~ c( 1) w drugim przypadku, to poprawa estymacji w każdym kroku jest duża.

Stąd wniosek, że poprawa jakości estymacji zależy od szybkości malenia war tości funkcji kowariancji: i tak. jeśli szybkość malenia jest duża - a więc sygnał ma charakter szerokopasmowy - jakość estymacji poprawia się powoli, co wymaga stosowania filtrów wysokiego rzędu; jeśli natomiast szybkość malenia jest mała a więc sygnał jest typu wąskopasmowego - jakość estymacji poprawia się szybko, co umożliwia stosowanie filtrów niskiego rzędu W granicznym przypadku szumu białego mamy c( I) = c(2) = ... = 0. co implikuje zerową poprawę jakości estymacji oraz - oczywisty skądinąd wniosek - że prognozowanie szumu białego nic ma sensu. Powyższe spostrzeżenia zostaną wykorzystane przy omawianiu zagadnienia filtracji innowacyjnej i parametryzacji sygnałów.

Unormowany algorytm Levinsona

W zastosowaniach - zamiast zależności (2.145)~<2.149) korzysta się zazwyczaj z tzw. unormowanej wersji algorytmu Levinsona. Zarówno z lego względu, jak i z uwagi na fakt, że ..unormowane" rozwiązanie problemu prognozy bę dzie wielokrotnie wykorzystywane w dalszych rozważaniach, przedstawimy tę wersję omawianego algorytmu W tym celu ..unormujmy" rozwiązania w przód i w tył (2.144), dokonując podstawień

tj współczynniki rozwiązań unormowanych stanowią rezultat podstawień

"n.i    ,    bn,i

przy czym On. o = 6/1,0 =

(2.151)

V^Rn

(2 152)

Uwaga l: Sens terminu „unormowanie” w (2.150) sranie się jasny przy oma wianiu rozwiązania problemu prognozy metodą geometryczną.

Uwaga 2: W dalszym ciągu A„. B_n. a„., oraz b_n>, będą oznaczać wielkości unor mowane:

49

fffflllllfiSESIS 3III!

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stać jonarn -

Wprowadźmy oznaczenie

r= I

(2.153)

--Rekurencyjne metody rozwiązania problemu prognozy

Uwaga 3: W unormowanym algorytmie Levinsona (2.153), (2.155), (2.160) ¹ 2 16/). zależność (2.149) określająca błąd Średniokwadratowy prognozy jest zastąpiona równoważną zależnością rekurencyjną

(2-155) J

Zauważmy, że z (2.149) wynika zależność

a stąd wniosek, iż ,,

(2.157)

(2.162)

(2.163)

(2.161)

50

51