Cyfrowa ru tnA«iA aum i*-v •u.---"<

A

(6.2)

< y\r = \y >V- (yo >r)

A więc < y\_T stanowi wektor wierszowy próbek Operację sumy elementów określimy jako

|* >_r + |y >T= l«r+y >r= I ^r» ' V0 *t + vrl'

„ operacje mnożenia pr/ez5kalnr o t%_ zdefiniujemy jako

|v >ro* fyoa ■ • yr" I'

Mając wektory \x >r i b >r. wprowadźmy iloczyn skalamy ,ako

r

< jtly >r= N •• • ^xr][yo ■ ■ ■ yrY- 7L*'^y'

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Notacja

Majac |y >r. zdefiniujmy operator opóźnienia jako

|ry >_T= [Oyo ... yr-,]'

skąd wniosek. Ze

|z*y >r= [0_2 yo ... _yr._t]'

Wprowadźmy rodzinę podprzestrzeni

S,_XJ = jpfln{|z^łv>r....,|z*y>_r)

(6.14)

Niech

indukujący normę

IIIy>r \\=<y\y>l= (l>?)

(6.6)

\Y,.k >t= t |z'y >r ... |**y>r]

Wówczas operator projekcji ortogonalnej na S_/>;7- będzie wyrażony jako

P(Si,k.r) = I^Yi.k>r< Yi.Mjc >}*< Yi.k\r    (6.16)

(6.15)

oraz metrykę

,/(|<>r.|y>r) = IIU>r-|y>7- || = || |x-y >7 11 =

- <x-y\x-y >}=

Operator projekcji ortogonalnej na span{\y >7} W™ wyrażony jako

P[\y>r) - l.v>r< >*l.v >7 '< >'l^

sknd wniosek, że projekcja ortogonalna wektora |x >r na span{\y >7}. »o

\t >t= P(\y >t)\^x >t= I y >r< y\y >t ¹ < *1* ^>T= \y^>r P

Niech

k>r=(0—5 if

(6.7)

gdzie < Y_lJc\Y_ik >_T ¹ może być rozumiane w sensie macierzy pseudoodwrotnej Traktując |r'y >_T,    ,|z*y >7 - zgodnie z (6.14) - jakobazę tej podprzestrzeni.

jej dowolny element będzie wyrażony jako

>t= Iz'y >r /*+ .. + |z*y >r /*

(6 17)

Wówczas dla elementów |</> >_r oraz |y/ >_T (gdzie 11// >_r wyraża się za pomocą (6.17) z/„. ./V zamienionymi na g,. .. ,g*)mamy

< *| V >T= LA A] < YidYiJc >T [gi gk\

(6.18)

gdzie < Y_ik\Y_ik >r jest macierzą Grama elementów |z*y .,|z*y >_T. Stąd i z (6.6) wynika, że

II* >r II² = [//•• • fk] < Y,.k\Y,.k >r[fi ■ ■ fk}'

(6.19)

Uwaga: Zauważmy, ze przestrzenie S_iik = span{y(t - i).. ,y[t - fc)} (gdzie y(t — j) są zmiennymi losowymi stacjonarnego ergodycznego sygnału losowego y) i (6.14) są (asymptotycznie) izomorficznie izornetryćzne W istocie

Wówczas

< n\y >7= >i

(6.1D

skąd wniosek, ie

lly(' - »II^J = lim ^ < r^yy|.^Jv >_T

7 —*w /

j = i,..._tk

W konsekwencji, jeśli rozważyć elementy $,'(/£ S,_ik, gdzie 0 = f,y(t    -f f_kv(t - k)

V = giyU-i) + ••• + £*>'('-*)

m

Rys

Liniowa prognoza śREDNiOKWApnArowA szeregów czasowych

oraz elementy |0 >7, |i/r >r€ Sj^-j (6.17), to

I

(*. V) = Jim - < 0|v' >7

7 -*rt> I

a zatem:

/    >T

2.

^{1,2 =}/i"f¹¹

Poszukiwany estymator prognozy

l>V >7= [>W.o ... 9n,tY

(6.20)

wyraża się jako projekcja ortogonalna elementu |y >7 na podprzestrzeti S\_tfjj rozpiętą na przeszłości {|r^ły >7,..., |r^Ny >7}

|y/Y >r = r(5i,At;r)|y >r=

= \Y\,K >r< ^'i./V|>'1 .AZ >f’< YlJi\y>T € Stjij

(6.21)

(6.22)

(6.23)

(6.24)

(6.25)