150    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 2. WYZN

gdzie Ufs) = £[£^(0] i U₂(.s) = £[£/₂(0], liniowego członu (rys. 3.4), w którym pomiędzy sygnałem wejściowym Uft) i sygnałem wyjściowym U₂(t) zachodzi następujący związek:

(2)

dt³ + df

dt⁴

Rozwiązanie. Dla wyznaczenia transmitancji (1) transformujemy wyraz po wyrazie obie strony równania różniczkowego (2), przyjmując przy tym wszystkie wartości początkowe za zerowe, i wówczas otrzymujemy

^{b) Ł}“-(Ś5

C) ^[/(0] =-j—7I> ^w s —o

d) ^lC/(0] = tA-2> ^w

— s —o

(s³4-3s4-5) Ufs) = (s⁴ — 3) U₂(s),

a stąd

K(s) =

s    3s 4~ 5

~~?-3    '

Zadania do rozwiązania

3. a)

b)

c)

d)

Ł[/(0] = L[/(0] = i[/0)] = L[/(0] =

s

(s²4- l)² ’

1

11

(s 4" 6) (s 4" 1

5(S²-!)’

1.    Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji:

a)/(0 =    ł(e⁴'-l),    b) /(/)    =    c^2t-_e-⁽,

^c) /(O =    2 4-sin 2/,    d) /(/)    =    l-e^2,4-cost.

2.    Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji:

^a) /(O =    tcosbt,    b) /(/)    =    e^_2,sin/,    .

^c) /(O =    sinhfc/,    d) /(f)    =    coshtr.

3. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji:

^a) /(O = Ksint4-tcost),

§ 3. Przekształcenie od w i jego podstawowe v

Twierdzenie 1. Jeżeli /uhAc definicji 1.1), a funkcja {s to w każdym punkcie, w któr

c) /(/) =

e^-4'—e"

6 (

b) /(/) = ^(sinf—/cos/), d) /(/) = coshr— 1.

(3.1)

Odpowiedzi

1. a) T[/(01 = -t-—» wskazówka: por. zad. 2.4, s — 4s

b) L [/(O] =

s —s—2

, wskazówka: por. zad. 2.4,

'2 2

c)    L[/(f)]=—h-5—wskazówka: por. zad. 2.1 i 2.3,

s s 4-4

11 s

d) L[/(f)] = —---4—5—r. wskazówka: por. zad. 2.1, 2.2 i 2.6.

s s—2 s 4-1

s² — b^z

2. a) L[/(t)3 = (_s2₊fr2ył> wskazówka: por. zad. 2.9,

gdzie całkowanie odbywa się w. Res = 2>ź₀ (rys. 3.1) oraz i Całkę występującą po praw tzn.

A+ioo

J

ji-ico

Uwaga 1. Ze wzoru (3.1) Przekształcenie (3.1) nazyv Laplace'a (1.2) i oznaczamy :

(3.1')