23009 str152 (3)
152 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA i 3. PRZEKSZTAŁCENIE
Uwaga 2. Wzór (3.1) jest słuszny również w punktach nieciągłości t0 funkcji f{t), w których dla oryginału /(/) przyjmujemy wartość
Kto-0)+/0o+0)
2
Własność 1. Przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace'a jest operacją liniową wykonywaną na funkcjach <P(s) zmiennej zespolonej s, czyli
(3.2) ^_1[ai^i(s)+a2^2(s)] = alL~l[$]i(s)'] + a2L-1 [4>2(s)],
gdzie <7j oraz a2 oznaczają stale dowolne.
W szczególności mamy
(3.3) L~1(<Pl + d>2) = L-^)+L-,(*2),
(3.4) Lr1(<Pa) = aLT1(<P), a — stała dowolna.
Własność 2. Jeżeli funkcja <P(s) spełnia trzy następujące warunki:
1° 4>(s) jest transformatą Laplace'a pewnej funkcji f(t), która jest oryginałem,
2° <P(s) jest holomorficzna na całej płaszczyźnie zmiennej s z wyjątkiem skończonej liczby punktów sx, s2, ..., sn, w których ma bieguny,
3° |$(.ę)| dąży jednostajnie do zera, gdy |j|->oo {tzn. dla każdego e>0 istnieje taka liczba A> 0, że |4>(^)| <e dla |j|>,4),
to całka, występująca po prawej stronie wzoru (3.1), wyraża się następującym wzorem:
(3.5) ~ J d>(s)e"ds = resSk[<f>(s)esr], f>0.
Z uwagi na wzór (3.1) oryginał /(/), którego transformatą jest znana funkcja zmiennej zespolonej <P(s), można wyrazić wzorem
(3.6) Kt) m L"1 [<*>(*)] = i resIk[*(s)«“] (t>0).
*=1
Definicja. Splotem dwóch funkcji fff) i f2(t) całkowalnych w przedziale <0, a> nazywamy funkcję zmiennej t określoną całką
\fi(t—t)f2(f)dx
o
i oznaczamy symbolem fft) * f2(t).
Mamy więc w myśl definicji splotu
(3.7) m * f2{t) = }/,(<-t) /2(t) dr, Ośtśa.
o
Uwaga. Splot jest operacją 1° przemienną:
/i(0*/2(0 = /2(0*/i(0.
2° łączną:
[/.(O*
3° rozdzielną względem d
[fi(0+f
Twierdzenie 2 (twierdzei oryginałami oraz L [/,(/)] = >
(3.8) L\ dla Re.v = /.> z0, gdzie lQ jt
łów /j(0 l/2(0-
Wzór (3.8) wysławiamy przez transformatę z orygins oryginałów.
Własność 3. Jeżeli spelnu
(3.9) L"1 [^(s)* 4>:
Wzór (3.9) (zwany wzorem cenie Laplace’a z iloczynu di ich oryginałów.
Własność 4. Jeżeli $(5) j pierścieniowym nieskończonoś
(3.10)
dla |r| > R, to funkcja f(t) ol
(3.11)
jest oryginałem, którego tran Funkcja f(f) jest przy tyr ności (3.10) do równości (3. nach (3.10) przekształcenie ot brać przekształcenie odwroti
§ 4. Wyznaczanie orygii (obraz)
Bardzo ważne jest zagadn (obraz). Zadanie to można 1° metoda pośrednia (ro;
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
62664 str148 (3) 148 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 2. WYZN Stosując wzór
str196 (3) 196. 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA S 7. RÓWNANIA CAŁKOW 196
str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1 170 3.
str174 (3) 174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I Stosuj
więcej podobnych podstron