156 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACEA I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

(3)

V(s + l)[(s + 2)² + 9]y

¹ W ¹ "i ¹ W ⁹⁺²    ^    ⁶ L-'(    ¹    ^

5 Vs + lJ 5    \(s+2)²+9/ 5    \(s + 2)² + 9/

czamy następnie residua funk wtedy

(1)

(2)

Stosując do naszej funkcji <P(s) Zadanie 4.5. Wiedząc, że

Z tablic transformacji Laplace’a, § 8, odczytujemy L

(5)

(6) (7)

,/    s+2

W 2)

^L"tn)^=e"

i)--

(por. wiersz 2 dla a = — 1), cos3t (por. wiersz 7 dla a = —2, b = 3),

L ¹ (-₅—] = ie ²'sin3t (por. wiersz 6 dla a = —2, 6 = 3).

\(^s + 2) + 9y

Uwzględniając równości (5), (6), (7) w prawej stronie wzoru (4), mamy

L-‘(-

—s + 1

V(s+l)[(s + 2)² + 9]

Ostatecznie szukany oryginał f(t) wyraża się wzorem

e~^,—e~²'(2 sin3t+cos3f) /(O -    5

Zadanie 4.4. Wiedząc, że

cos 3t—-fe    sin3t

metodą residuów wyznaczyć

Rozwiązanie. Zauważar z wyjątkiem punktów s_x = 2i czarny następnie residua funł

kolejno w punktach s_t oraz

<P(s) = _:

(s + a)(s+6) ’ metodą residuów wyznaczyć oryginał

Rozwiązanie. Zauważamy najpierw, że funkcja <P(s) jest holomorficzna wszędzie z wyjątkiem punktów s₂ = — a oraz s₂ = —b, w których ma bieguny jednokrotne. Wyli

oraz

(2)

Stosując do danej funkcji <Pl f(t) = L-¹