176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

§ 5. WYZNACZANE

a stąd

(8)

L(y) =

S +1

S(S-l)²'

Rozkładając następnie prawą stronę wzoru (8) na ułamki proste, mamy

(9)

S S-1 (S-l)²

Stosując we wzorze (9) obustronnie przekształcenie odwrotne Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy

(10)    ^-^L“(ł)-^L"^,(^l)^+2L"^,((^i?)'

Z tablicy przekształceń (wiersz 1, 2, 8) odczytujemy

(11)

Uwzględniając związki (11) w równaniu (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie

y = l-e'+2te' = l + e'(2t-l).

Zadanie 5.9. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y"+2y\t)+2y(t) = f(t) przy warunkach początkowych

(2)    y (0) = y'(0) = 0.

Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Wykorzystując następnie wzór (1.6), mamy

(3)    L(y")+2L(y')+2L(y) = L(f). Na mocy wzorów (1.8) wyliczamy

(4)    L O") = S²L (y) - Sy (+0) - /(+0),

(5)    L(y') = SL(y)-y(+0). Przyjmijmy

(6)    L (/) = <P (S).

Podstawiając wzory (4), (5) i (6) do równania (3) oraz wykorzystując warunki początkowe (2), otrzymujemy po przekształceniach i uporządkowaniu

(7)    ,

a stąd

(S² + 2S + 2) L (y) = 4>(S),

Stosując do wzoru (8) o rela (3.9), mamy

(9;

ale

(10)

ii

i

(S+l

Uwzględniając związki (10) ■

y = f(

Jest to szukane rozwiązanie i Zadanie 5.10. Rozwiązać

(1)

przy warunkach początkowyi

(2)    y<

Rozwiązanie. Stosujem; korzystując wzór (1.6) otrzyi

2 L(y")-L 2 L(y")+L Stosując wzór (1.8), mamy

W

(4)    L(z' L(y' L(z'

Podstawiając wzory (4) do ukł; po przekształceniach

(5)    ⁽“²-(2S² +

Jest to układ równań liniowy znajdujemy

(3)

(8)

L(y) =

1

(S+l)² + l

*(S)

\ ■

(6)

L(y)

Hz)

12 — Wybrane działy matematyki...