Egzamin połówkowy z Analizy matematycznej i algebry liniowej
WETI, AiR gr.1-3, 2 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Obliczyć
(x2 - y2)dx + 2xydy,
L
gdzie L jest łukiem opisanym równaniem x2 + y2 = 1, dla x 0 i y 0, skierowanym od
punktu A(1, 0) do punktu B(0, 1).
2. [4p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
tg x dx + y tg2x dy,
K
gdzie K jest brzegiem prostokąta o wierzchołkach w punktach A(0, 1), B(Ą , 1), C(Ą , 3) i
4 4
D(0, 3) skierowanym dodatnio.
[2p.] b) Przedstawić (wzór, opis, rysunek) zastosowanie geometryczne całek krzywolinio-
wych skierowanych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Uzasadnić, że całka
xdx + ydy
x2 + y2
L
nie zależy od drogi całkowania. Wyznaczyć jej wartość, gdy łuk L jest dowolnym łukiem
gładkim skierowanym od punktu A(1, 0) do punktu B(6, 8), nie przechodzącym przez
początek układu współrzędnych.
4. [4p.] a) Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie z3+3z2+4z-8 = 0. Rozwiązania
równania zaznaczyć na płaszczyznie zespolonej.
z1 z1
[2p.] b) Pokazać, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych z1 i z2 zachodzi = ,
z2 z2
przy założeniu, że z2 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
zeĄzdz
,
(z2 + 4)2
C
gdzie C jest okręgiem |z + 2i| = 2 zorientowanym dodatnio.
6. [4p.] a) Obliczyć całkę
(xz + 1 + 4y)dS,
S
gdzie S jest częścią powierzchni o równaniu y = x2, zawartą między płaszczyznami z = 0,
z = 2 i y = 1.
[2p.] b) Zdefiniować i podać przykład gładkiego płata powierzchniowego względem płasz-
czyzny Y OZ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7. *) [dla chętnych] [3p.] Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = + (z - 2i)2 - i.
z
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kol pol sem2 AiR 10kol pol sem2 AiR 11kol pol sem2 IBM 09kol kon sem2 AiR 09kol pol sem2 EiT 09kol kon sem2 IBM 09kol kon sem2 AiR 10kol pol sem2 EiT 10kol kon sem2 AiR 11kol pol sem2 IBM 11kol pol sem2 IBM 10kol zal sem2 AiR IBM 12 2013kol zal sem2 AiR IBM 13 2014kol pop sem2 IBM 09egz pol ETI AiR 09 10kol pol sem2 EiT 11kol zal pop sem2 AiR IBM 12 2013kol zal sem2 ETI AiR 11 2012kol zal sem2 EiT 13 2014więcej podobnych podstron