Ćwiczenie 01 Zapoznanie się z programem MathCAD
Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z programem MathCAD. Program ten będzie
wykorzystywany przez nich do opracowywania ćwiczeń wykonywanych w laboratorium
pomiarowym, a także do przeprowadzania dodatkowych analiz i obliczeń.
Ćwiczenie zaplanowane jest na trzy spotkania (pierwsze z nich już w trakcie zajęć wstępnych).
Będzie ono polegać na uważnym czytaniu instrukcji i kolejnym wykonywaniu wszystkich poleceń.
Jeżeli polecenie mówi, że należy wykonać jakieś zadanie podane przez prowadzącego ćwiczenie
należy - po dojściu do danego punktu - zwrócić się do prowadzącego z zapytaniem o treść tego
zadania.
1.00. Wiadomości ogólne o programie MathCAD
MathCAD jest przyjaznym dla użytkownika programem matematycznym, zachowującym się tak
jak inteligentna tablica .
MathCAD jest programem Windows owym. Podobnie jak inne tego typu programy wyposażony
jest w rozwijane menu (na ilustracji pokazano menu wersji MathCAD 7 Professional, podobnie lub
identycznie wyglÄ…da menu dla innych wersji programu):
Główny (pierwszy od góry) pasek menu można rozwijać klikając na odpowiednim napisie (albo
wciskając jednocześnie klawisz Alt i klawisz z podkreśloną w danym napisie literą). Niektóre z
elementów jakie się pojawiają po kliknięciu są już umieszczone w drugim od góry pasku menu: pasku
narzędzi. Trzeci pasek menu to pasek formatowań tekstów. Niektóre narzędzia, zwłaszcza zaś
formatowania powinny być studentom znane z innych programów środowiska Windows. Z innymi
będziemy się stopniowo zapoznawać.
Czwarty pasek menu jest paskiem z przyciskami otwierajÄ…cymi palety matematyczne (po angielski
Palette albo Toolbar w zależności od wersji). Palety te pojawiają się po kliknięciu myszką na
danym przycisku. Ułatwiają one wypisywanie zależności matematycznych. Występujące w tych
zależnościach znaki i symbole matematyczne można wpisywać wciskając różne kombinacje klawiszy
lecz często łatwiej (nie tylko początkującemu użytkownikowi) jest wprowadzać je właśnie przy
pomocy palet.
Pasek narzędzi, pasek formatowań i pasek palet matematycznych mogą być ukrywane przy pomocy
przycisków pojawiających się po rozwinięciu menu View głównego paska menu. Mogą też zostać
(w prosty sposób) ustawione jako paski boczne albo przesuwalne palety.
Po uruchomieniu MathCAD automatycznie tworzy nowy dokument o nazwie Untitled . Nowy
dokument można również utworzyć z klikając na napis New w sub-submenu File menu głównego,
albo wciskając jednocześnie klawisze Ctrl i N .
Zapisz ten dokument (mimo iż jest jeszcze pusty ) w katalogu wskazanym przez prowadzącego
ćwiczenie. Nadaj mu nazwę, którą łatwo ci będzie zapamiętać (i którą łatwo będzie skojarzyć z Twoją
grupą ćwiczeniową jeżeli ją jednak zapomnisz).
Dokument z wykonanymi przez siebie ćwiczeniami zapisuj każdorazowo na końcu zajęć. Przed
zapisaniem uporządkuj go (ma wyglądać estetycznie, po inżyniersku ).
Zapisywanie i ładowanie plików przeprowadza się jak w innych programach środowiska Windows.
- 3 -
Część I
1.01. Proste obliczenia kalkulatorowe
Po utworzeniu nowego dokumenty w jego lewym
górnym rogu pojawia się mały krzyżyk. Zastępuje on
kursor. Można go umieścić w dowolnym (pustym) miejscu
dokumentu klikając w tym miejscu myszką. Właśnie tam
umieszczane będą znaki wprowadzane z klawiatury (lub ze
specjalnych palet).
Wpisz następujący ciąg znaków: 101 - 7 / 14.5
(zamiast przecinka oddzielającego część całkowitą liczby
od jej części ułamkowej stosujemy kropkę) i na koniec = .
Na ekranie będą pojawiać się kolejne elementy napisu
pokazanego na rysunku, a po wciśnięciu znaku = program
obliczy i wyświetli wynik (jeżeli wynik się nie pojawi
należy włączyć opcję Automatic Calculation klikając
odpowiedni przycisk menu jakie rozwinie się po kliknięciu na przycisk Math menu głównego).
Po wpisaniu operatora matematycznego (w tym wypadku były to znaki - i / ) pokazuje się mały
zaczerniony prostokącik, który nosi nazwę znacznika (po angielsku placeholder ). Znacznik to
miejsce do wprowadzania kolejnych liczb lub wyrażeń. Również za podanym przez program
wynikiem obliczeń pojawia się znacznik.. Ten znacznik znika on po kliknięciu myszką w dowolnym
miejscu dokumentu. Służy on do konwersji jednostek w wyrażeniach fizycznych. Na razie nie
będziemy na niego zwracali uwagi.
Znaki wprowadzone przez wciśnięcie klawiszy + i - interpretowane są przez program jako
operatory dodawania i odejmowania. * (gwiazdka) to mnożenie. Znakiem podnoszenia do potęgi
jest ^ .
PrzyporzÄ…dkowanie klawiszy kilku elementarnym operatorom matematycznym pokazano w tabeli I.
Tabela I
Elementarne operatory wprowadzane z klawiatury
działanie notacja klawisz opis
suma X + Y + dodaje X i Y
różnica X - Y - odejmuje Y od X
negacja -X - mnoży X przez -1
silnia n! ! oblicza 1Å"...Å" (n - 2) Å" (n -1) Å" n
potęga ^ podnosi X do potęgi Y
XY
iloraz / dzieli X przez (niezerowe) Y
X
Y
pierwiastek kwadratowy \ oblicza moduł pierwiastka kwadratowego
X
z X
znak przypisania wiek := X : przypisuje zmiennej wiek wartość X
indeks dolny wektora [ oznacza n-tą składową wektora X
Xn
indeks dolny macierzy [ oznacza element macierzy X o
Xm,n
współrzędnych (m,n)
W czasie wpisywania znaków pojawiają się niebieskie linie edycyjne (pionowa kreska i
podkreślenie). Pokazują one jaka część wypisywanego wyrażenia będzie argumentem kolejnego
działania matematycznego.
Dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie są tzw. operatorami lepkimi : wszystko co zostanie
wpisane po wprowadzeniu któregokolwiek z nich jest częścią argumentu operatora ( klei się do
- 4 -
niego) tak długo dopóki pionowa kreska linii edycyjnych nie zostanie celowo przesunięta w inne
miejsce. Przesuwa siÄ™ jÄ… wciskajÄ…c klawisz spacji.
Ćwiczenie 1.01.1.
1
Oblicz wyrażenie: 103 + Å" 42+1 - 7 + 5.32 + 6.89 .
3 + 5
W celu wpisania tego wyrażenia należy wykonać następującą sekwencję czynności:
1. Wpisać ciąg znaków: 10^3 , a następnie wcisnąć klawisz spacja (klawisz spacji).
Po wciśnięciu klawisza spacji podkreślone linią edycyjną tzw. pole wyboru
zaznaczające 3 powiększa się: zaznacza teraz jednocześnie i 10 i 3 - argumentem
kolejnego operatora będzie trzecia potęga dziesięciu.
2. Wpisać: + 1 / 3 + 5 spacja spacja * 4 ^ 2 + 1 spacja
spacja
(sekwencja [spacja][spacja] oznacza dwukrotne wciśnięcie klawisza spacji).
Obserwować jak zmienia się pole wyboru.
3. Wpisać: - \ 7 + 5.32 [spacja] [spacja] a następnie: +
6.89 .
Teraz można wcisnąć klawisz = i program poda wynik.
Operatory można również wprowadzać posługując się jedną z palet
matematycznych. W tym przypadku jest to paleta z elementarnymi
operatorami i cyframi ( Calculator Toolbar ). Menu palety pojawia siÄ™
po kliknięciu na otwierającym tę paletę przycisku (pierwszym od lewej
na poziomym pasku palet matematycznych - tym z symbolem
kalkulatora). Operatory wprowadza siÄ™ klikajÄ…c odpowiednie przyciski.
Paleta zawiera niektóre funkcje. Inne funkcje (wszystkie
obsługiwane przez program) można wprowadzić korzystając z
narzędzia Insert Function wywoływanego z submenu Function
rozwijanego po kliknięciu na przycisk Insert menu głównego.
(Funkcje można też oczywiście wpisywać z klawiatury)
Ćwiczenie 1.01.2.
Używając do wprowadzania symboli matematycznych palety kalkulatorowej ( Calculator
Toolbar ) i znaków wprowadzanych z klawiatury oblicz przy pomocy MathCAD a wartości wyrażeń
podanych przez prowadzącego ćwiczenie.
(Nie kasuj utworzonych wyrażeń.)
1.02. Edytowanie wyrażeń matematycznych
Klikając w odpowiednim miejscu już istniejącego wyrażenia matematycznego umieszcza się w tym
miejscu pionową kreskę linii edycyjnych. Pojawi się też linia pozioma (podkreślenie) określająca tzw.
pole wyboru. Jest ona skierowana w lewo lub w prawo w zależności od tego, z której strony danego
znaku klikniemy. Linie edycyjne można przesuwać klawiszami ze strzałkami i przy pomocy klawisza
spacji. Odpowiednio przesuwając linie edycyjne, dobierając w ten sposób wielkość i położenie pola
wyboru można edytować poszczególne fragmenty wyrażenia matematycznego: kasować je, zmieniać,
uzupełniać o nowe elementy.
Linie edycyjne określają tę część wyrażenia, która będzie argumentem kolejnego operatora lub
wyrażenia jakie zostanie wprowadzone. Jeżeli pionowa linia jest umieszczona z lewej strony
podkreślonego linią poziomą pola wyboru wprowadzany operator (lub wyrażenie) pojawi się po lewej
stronie. Jeżeli linia jest po prawej - operator (lub wyrażenie) pojawi się po prawej.
Aby objąć polem wyboru jakiś operator (wraz z argumentami) należy kliknąć myszką na symbolu
danej operacji. Powiększanie pola wyboru dokonuje się klawiszem spacji..
- 5 -
Podwójne kliknięcie na jakimś elemencie wyrażenia matematycznego powoduje jego podświetlenie
w reverse video . Zaznaczony w ten sposób element można teraz skasować lub zastąpić innym.
Inny sposób zaznaczania pożądanego obszaru to pojedyncze kliknięcie myszką i jej przeciąganie
przy wciśniętym jej lewym przycisku (albo strzałkami klawiatury przy wciśniętym klawiszu [Shift]).
Wyprowadzone na ekran wyrażenia matematyczne można kopiować do schowka
(clipboardu) a następnie wklejać w dowolnym miejscu dokumentu wskazanym przez
kliknięcie myszką. W tym celu dane wyrażenie zaznacza się obejmując prostokątem o
przerywanym obrysie jaki otrzymuje się ciągnąc myszką z wciśniętym lewym przyciskiem.
Zaznaczone wyrażenie otoczone jest teraz prostokątem, który nie znika po zwolnieniu
przycisku myszki. Można je wycinać, kopiować i wklejać używając poleceń z rozwijanego
submenu Edit menu głównego albo kombinacjami klawiszy Ctrl i C oraz V - jak w
innych programach środowiska Windows.
Ćwiczenie 1.02.1.
3
Wypisz wyrażenie: 2 Å" 52 + Å" 5 + 2.45 przekopiuj je w inne miejsce, a nastÄ™pnie przeksztać kopiÄ™
2
5
w wyrażenie: - 2 Å" (13.4 - 5)2 + Å" 5 - 21.67
2
W tym celu należy wykonać następującą sekwencję czynności:
1. Najpierw zmienić 52 na (13.4 - 5)2 : kliknąć podwójnie na 5 a następnie wypisać 13.4 -
5 - program sam wstawi nawias (klikać należy w pobliżu górnej krawędzi cyfry).
2. W kolejnym kroku zmienić pierwsze 2 na -2 : kliknąć po lewej stronie 2 i wpisać znak - .
3. Przekształcić ułamek: kliknąć podwójnie na cyfrze 3 i wpisać 5 .
4. Na koniec umieścić linię edycyjną na prawo od ostatniego znaku + , skasować go klawiszem
Backspace i wpisać operator - .
Ćwiczenie 1.02.2.
Przeprowadz edycję wyrażeń podanych przez prowadzącego ćwiczenie.
(Nie kasuj utworzonych wyrażeń ani ich wyedytowanych kopii.)
1.03. Formatowanie wyników
MathCAD wyposażony jest w narzędzia do przedstawiania wyników obliczeń w żądanej postaci.
Menu formatowania wywoływane jest przyciskiem Result Format ( Format Wyniku ) w submenu
Format głównego paska menu. Menu formatowania wyświetla się z wciśniętym przyciskiem
Number Format ( Format Liczby ) i opcją General ( Ogólnie ).
- 6 -
Pokazane na rysunku ustawienia oznaczają, że:
- wyświetlane będą cztery cyfry po przecinku ( Number of decimal places - "Ilość cyfr
dziesiętnych");
- zapis wykÅ‚adniczy zastosowany bÄ™dzie jeżeli liczba jest mniejsza od 1Å"10-5 lub wiÄ™ksza od
1Å"105 ( Exponential Threshold - "Próg zapisu wykÅ‚adniczego");
- opcja Trailing zeros jest wyłączona - polega ona na tym, że do skończonych ułamków
dopisywane są zera także na miejscach nie znaczących.
Wybranie opcji Decimal ( Dziesiętna ) skutkuje wyświetlaniem wyniku zawsze w formie ułamka
dziesiętnego (np.: 12461.7556), opcji Scientific ( Naukowa ) - zawsze w zapisie wykładniczym
(np.: 1.2462 x 104), opcji Engineering ( Inżynierska ) - zawsze w zapisie wykładniczym z
wykładnikiem podzielnym przez trzy (np.: 12.462 x 103).
Wciśnięcie przycisku Tolerance ( Tolerancja ) powoduje przejście do menu nastawiania progów,
przy których program ma traktować liczbę jako równą zeru i jako liczbę zespoloną.
Pokazane na rysunku ustawienia oznaczają, że:
- gdy w liczbie zespolonej część rzeczywista jest różna od części urojonej o 6 rzędów (106) to
liczba zostanie zaokrąglona się do większej części ( Complex threshold - Próg zespolonej );
- gdy pierwsza znacząca cyfra jest dalej niż na piątym miejscu po przecinku liczba będzie
zaokrąglona się do zera ( Zero threshold - Próg zera );
Pozostałe opcje ( Display Options - Opcje wyświetlania i Unit Display - Wyświetlanie
jednostek ) nie będą nam na razie potrzebne.
Ustawione parametry formatowania dotyczą wszystkich wyników z wyjątkiem wyników
sformatowanych indywidualnie. Takie indywidualne formatowanie przeprowadza się przywołując
menu formatowania poprzez dwukrotne kliknięcie na liczbie, którą chcemy formatować. Jeszcze inny
sposób to zaznaczenie najpierw jakiegoś wyrażenia matematycznego a dopiero następnie
wywoływanie narzędzia formatowania przyciskiem Number Format w submenu Format . W
obydwu przypadkach wprowadzone ustawienia dotyczyć będą tylko tej liczby.
Ćwiczenie 1.03.1.
Wprowadz takie ustawienia formatów liczb, by każdy z wyników uzyskanych w poprzednich
ćwiczeniach miał inny format.
1.04. Wprowadzanie tekstu
Aby uczynić dokument MathCAD a zrozumiałym nawet po upływie czasu trzeba
poszczególne fragmenty czytelnie opisać. W tym celu stosuje się obszary tekstowe ( Text
Regions ). Można je wprowadzać z klawiatury klikając w pustym miejscu dokumentu i wciskając
- 7 -
klawisz ( ) (cudzysłowu) lub korzystając z narzędzia Text Region wywoływanego z submenu
rozwijanego po kliknięciu na napis Insert menu głównego.
Do formatowania tekstu służą narzędzia z paska narzędzi rozwijanego po kliknięciu
przycisku Formatting wywoływanego z submenu Toolbars rozwijanego po kliknięciu na napis
View menu głównego. Są one takie same jak w innych programach środowiska Windows.
Zazwyczaj pasek narzędzi formatowania jest rozwinięty na stałe.
Ćwiczenie 1.04.1.
Opisz dotychczas wykonane ćwiczenia. zaopatrz je w tytuły. Wpisz swoje imię i nazwisko, numer
grupy, rok akademicki.
1.05. PorzÄ…dkowanie dokumentu MathCAD
Poszczególne regiony tekstowe a także wyrażenia matematyczne mogą być w dokumencie
przesuwane. W tym celu zaznacza siÄ™ je obejmujÄ…c prostokÄ…tem o przerywanym obrysie jaki
otrzymuje się ciągnąc myszką z wciśniętym lewym przyciskiem. Zaznaczone regiony
otoczone są teraz oddzielnymi prostokątami o przerywanych obrysach, które nie znikają po
zwolnieniu przycisku myszki. Gdy najechać na nie kursorem zmienia się on w rysunek
czarnej łapki , za pomocą której można przesuwać zaznaczone regiony.
Poszczególne regiony można wyrównywać narzędziem Align Regions wywoływanym z
submenu rozwijanego po kliknięciu na napis Format menu głównego. Wyrównanie poziome
uzyskuje się po kliknięciu na przycisk Across , pionowe - na przycisk Down .
Czasem różne regiony zachodzą na siebie albo wręcz leżą jedne na drugich (co się może przytrafić
przy automatycznym wyrównywaniu). Wadę tę można usunąć stosując narzędzie Separate Regions
wywoływane również z submenu rozwijanego po kliknięciu na przycisk Format menu głównego.
Wcześniej należy zaznaczyć regiony, które mają być wyrównywane.
Ćwiczenie 1.05.1.
Uporządkuj utworzony w trakcie ćwiczenia dokument MathCAD.
Rób to każdorazowo przed zapisaniem dokumentu na dysk.
- 8 -
Część II
1.06. Zmienne
Gdy chcemy jakiejś wartości używać wielokrotnie wygodnie jest przypisać jej jakąś zmienną i w
wyrażeniach wpisywać nie tę wartość lecz nazwę tej zmiennej.
W programie MathCAD nazwą zmiennej może być wyrażenie zbudowane z liter (małych i dużych),
liter greckich (wprowadza się je albo z odpowiedniej palety albo wpisując łaciński odpowiednik a
następnie wciskając jednocześnie klawisze Ctrl i G ), cyfr (nazwa nie może zaczynać się od cyfry!),
znaku podkreślenia ( _ ), symbolu akcentu ( ` - dolny symbol klawisza ze znakiem tyldy ~ ), znaku
procentu ( % ) oraz znaku nieskończoności ( " - wprowadza się wciskając jednocześnie klawisze
Ctrl i Z ). Nazwa nie może rozpoczynać się od cyfry, znaku podkreślenia, znaku akcentu ani od
znaku procentu. Symbol nieskończoności może pojawiać się tylko jako pierwszy i jedyny taki znak w
danej nazwie.
Zmienne mogą posiadać indeksy dolne (subskrypty), stosowane np. przy oznaczaniu prądu (jak
np. 1 w I1 ). Wprowadza siÄ™ je wciskajÄ…c klawisz z kropkÄ…: . .
Zmiennym nadaje się wartości przy pomocy specjalnego znaku równości: := Jest to "znak
przypisania".
Znak ten można wprowadzić z palety z elementarnymi operatorami i cyframi ( Calculator toolbar )
lub wciskajÄ…c klawisz ze znakiem dwukropka : z klawiatury.
W MathCAD-zie występują jeszcze inne rodzaje znaku równości. Zapoznamy się z nimi
niebawem.
Program przegląda dokument z góry do dołu i z lewa w prawo. Aby wyliczył wyrażenie ze
zmienną wartość zmiennej musi być podana wyżej lub w tym samym wierszu z lewej strony
wyliczanego wyrażenia.
Jeżeli zmienna pojawia się po raz pierwszy (a więc nie ma jeszcze przypisanej wartości) znak
przypisania pojawia się po wprowadzeniu z klawiatury znaku równości ( = ). Jeżeli zmienna ma już
nadaną wartość wpisanie jej nazwy zakończone wciśnięciem klawisza = skutkuje wypisaniem
wartości zmiennej.
Uwaga! Program jest "inteligentny" co czasem pomaga a czasami może mieć opłakane skutki.
Rozpoczęcie nazwy zmiennej od liczby skutkuje uznaniem przez program, że chodzi nam o mnożenie
tej liczny przez zmienną o nazwie złożonej z tej części wprowadzonej przez nas nazwy (przecież
nazwa nie może zaczynać się od cyfry), która zaczyna się od pierwszego występującego w niej znaku
nie będącego cyfrą. Co gorzej, operatora tego nie daje się edytować, w dodatku na ekranie nie widać
znaku mnożenia!
Ćwiczenie 1.06.1.
Utwórz nowy dokument MathCAD a. Zapisz go na dysku pod taką samą nazwą jak dokument
poprzedni lecz z dopisanym kolejnym numerem.
Zdefiniuj dwie zmienne o wymyślonych przez siebie nazwach. Użyj ich w wyrażeniach wskazanych
przez prowadzącego ćwiczenie.
1.07. Zmienne zakresowe
Zmienna zakresowa ( Range Variable ) to taka zmienna programu MathCAD, która przyjmuje nie
jedną wartość ale cały uporządkowany szereg (wektor) wartości z pewnego zakresu.
Jeżeli wprowadzić z klawiatury następująca sekwencję znaków x : 0.2 ; 4 na ekranie pojawi
siÄ™ napis:
Została utworzona zmienna x o wartościach od 0.2 do 4 z krokiem 1.
Gdy teraz kazać programowi podać wartość zmiennej x (napisać x = ) wypisze on te liczby.
Gdy kazać mu wyliczyć x (wprowadzając z klawiatury sekwencję: \ x = ) poda on składający
się z czterech liczb wynik pierwiastkowania przeprowadzonego na każdej z czterech wartości
należących do zmiennej zakresowej "x".
- 9 -
W palecie elementarnych operatorów matematycznych
( Calculator Toolbar ) przycisk do wprowadzania
wartości zakresowych oznaczony jest symbolem m..n .
Krok z jakim zmieniają się wartości zmiennej
zakresowej może być różny od jedności. Wtedy definicja
zmiennej zakresowej ma nieco inną postać. Po pierwszej
wartości zakresu wstawia się przecinek, a następnie
wprowadza drugą z kolei wartość jaką ma przyjmować
zmienna. Krokiem jest różnica pomiędzy wartościami
drugą i pierwszą. Pozostałe wartości będą przyjmowane z
takim samym krokiem. Gdy do definicji rozpatrywanej
wyżej zmiennej zakresowej wprowadzić krok 0.5 (przyjąć
jako pierwszą wartość liczbę 0.2 a jako wartość drugą
liczbÄ™ 0.7) otrzymuje siÄ™ wektor pokazany na rysunku
obok.
Ćwiczenie 1.07.1.
Oblicz wartości podanych przez prowadzącego
ćwiczenie wyrażeń wykorzystujących zmienne
zakresowe.
(Nie kasuj utworzonych wyrażeń.)
1.08. Definiowanie funkcji
Funkcja matematyczna to (spełniające pewne warunki) przyporządkowanie elementów jednego
zbioru elementom innego zbioru. Pierwszy zbiór jest dziedziną funkcji, drugi - zbiorem wartości
funkcji. W MathCAD-zie obydwa zbiory sÄ… zbiorami liczb. Definiowanie funkcji polega na
utworzeniu przepisu , z którego program ma korzystać wyliczając liczbę określającą wartość funkcji
dla liczby należącej do dziedziny funkcji. Taki przepis tworzy się podając jakie działania mają być na
wykonywane. Można też użyć do tego celu operatorów matematycznych oraz elementarnych funkcji,
predefiniowanych w programie. Funkcje te można przywoływać korzystając z menu Insert Function
( Wstaw Funkcję ) wywoływanego przyciskiem Function ( Funkcja ) w submenu Insert
( Wstaw ) głównego paska menu (menu to można też przywołać wciskając jednocześnie klawisze
Ctrl i E ).
Po lewej stronie wyrażenia definiującego funkcję musi się pojawić jej nazwa uzupełniona o nazwę
zmiennej niezależnej umieszczoną w nawiasie (np.: funkcja(dana) - gdzie funkcja jest nazwą funkcji
- 10 -
a dana nazwą zmiennej). Nazwa funkcji oraz nazwa zmiennej niezależnej mogą być dowolne byle
utworzone zgodnie z zasadami tworzenia nazw, poznanymi w poprzednim ćwiczeniu. Po prawej
stronie wyrażenia definiującego funkcję musi być podany przepis na wyliczenie wartości funkcji.
Znak równości jest znakiem przyporządkowania ( := )
Załóżmy, ze interesuje nas funkcja, która będzie się nazywać "y" i będzie wyliczać sinus z liczby
podanej jako argument. Definicja funkcji będzie miała postać: y(x) := sin(x) - sin(x) jest funkcją
predefiniowanÄ… w programie.
Gdy mamy już zdefiniowaną funkcję możemy wyliczać wartość y dla dowolnej liczby (o ile nie
jest to sprzeczne z regułami matematyki). W tym celu wypisujemy nazwę naszej funkcji i w miejsce
symbolu zmiennej niezależnej wpisujemy liczbę, która ma być argumentem funkcji a następnie
wypisujemy znak równości ("zwykły"), np.:
Niech interesują nas wartości funkcji w całym przedziale zamkniętym 0, 3Ą . Aby je wyliczyć (na
przykład po to, by sporządzić wykres) należy utworzyć zmienną zakresową o zakresie 0, 3Ą . Będzie
to dziedzina zmiennej niezależnej funkcji. To jakie elementy (liczby) będą należeć do jej dziedziny (i
ile będzie tych elementów - liczb) zależy od przyjętego kroku. Przyjmijmy krok 2 (żeby przykład
nie był zbyt rozwlekły).
Wypiszmy deklaracjÄ™ zmiennej: u := 0,2..3Å" Ä„ - zmienna może siÄ™ nazywać inaczej niż w deklaracji
funkcji.
Wydajmy teraz programowi polecenia: u = i y(u) = .
Program wypisał wartości (liczby) jakie przyjmuje zmienna niezależna i -
drugim słupku - wartości (liczby) jakie przyjmuje funkcja dla odpowiednich
wartości zmiennej niezależnej.
Wypisanie: y = skutkuje pojawieniem siÄ™ informacji Illegal context -
zmienna y istnieje tylko w postaci y(liczba) albo y(nazwa_zmiennej) .
Funkcje dwu (i więcej) zmiennych definiuje się analogicznie.
Ćwiczenie 1.08.1.
Wprowadzając wymyślone przez siebie nazwy zmiennych zdefiniuj funkcje podane przez
prowadzącego ćwiczenie. Wylicz ich wartości.
1.09. Wykreślanie funkcji we współrzędnych prostokątnych
SporzÄ…dzmy wykres funkcji y(x) := sin(x) .
- 11 -
Możemy to zrobić jedynie dla jakiegoś konkretnego zakresu
zmienności zmiennej "x". Należy zatem zdefiniować jakąś zmienną
zakresową. Niech wykres obejmuje półtora okresu funkcji sinus:
<0,3Ä„>: u := 0,2..3 Å" Ä„ .
Aby wykreślić funkcję należy kliknąć na napis X-Y plot w
submenu Graph rozwijanego po kliknięciu na przycisk Insert
menu głównego.
Powoduje to wklejenie w miejscu gdzie znajdował się krzyżyk
zastępujący w MathCAD zie kursor dwuwymiarowego wykresu
szkieletowego o współrzędnych prostokątnych. (Pozostałe opcje submenu wskazują na inne rodzaje
wykresów: wykres dwuwymiarowy o współrzędnych biegunowych: Polar Plot , różne rodzaje
wykresów trójwymiarowych: Surface Plot , Contour Plot , 3D Scatter Plot i 3D Bar Chart
oraz dwuwymiarowy wykres pola wektorowego: Vector Field Plot .)
Dwuwymiarowy wykres o współrzędnych prostokątnych może być wklejony również przez
wciśnięcie klawisza @ oraz przy pomocy odpowiedniej palety matematycznej ( Graph Toolbar -
tej z rysunkiem wykresu funkcji).
Czarne prostokąciki w prawym dolnym rogu prostokąta edycyjnego wykresu i na środku jego
dolnej i prawej krawędzi służą do skalowania rysunku. Ciągnąc za nie myszką można go powiększać i
pomniejszać, a także zmieniać proporcje wymiarów. Wewnątrz prostokąta edycyjnego znajduje się
prostokąt mniejszy. Tu będzie umieszczony wykres. Po jego lewej stronie i pod spodem znajdują się
podłużne prostokąciki: znaczniki (placeholders). Aby wykres szkieletowy zamienił się w żądany
wykres funkcji należy w znacznik dolny wpisać nazwę zmiennej zakresowej a w znacznik przy
krawędzi pionowej wyrażenie określające funkcję (np. jej nazwę).
Dla funkcji: y(x) := sin(x) i zmiennej zakresowej: u := 0,2..3Å" Ä„ w Å›rodkowy znacznik na osi
poziomej wpisujemy u , w środkowy znacznik na osi pionowej y(u) .
Otrzymamy wykres (mało podobny do sinusoidy):
Jeżeli klikniemy w regionie należącym do wykresu pojawi się wokół niego prostokąt edycyjny.
Liczby u góry i u dołu lewej krawędzi wykresu, a także z lewej i prawej strony jego dolnej
krawędzi to wartości zakresowe. Program dobiera je sam tak, by wykres zmieścił się w okienku
(zakres pionowy) i by uwzględnione były wszystkie wartości zmiennej zakresowej (zakres poziomy).
Gdy na takiej liczbie kliknąć pojawią się linie edycyjne. Można ją teraz edytować - zamiast przyjętej
automatycznie wpisać jakąś inną wartość. Amplituda sinusoidy wynosi 1" wprowadzmy zatem
wartości 1 i -1 (gdybyśmy chcieli by wykres nie dotykał brzegów okienka powinniśmy wpisać
np. 1.1 i -1.1 ). Zostawmy zakres poziomy niezmieniony (wynosi on półtora okresu z dokładnością
wynikająca z przyjętego kroku).
Nasz wykres ciągle jeszcze nie przypomina sinusoidy. Jest jakąś dziwną łamaną. Program zaznaczył
na wykresie punkty wyliczone dla każdej z pięciu wartości zmiennej zakresowej a następnie połączył
je odcinkami. Efekt jest niezadowalający z powodu zbyt małej liczby punktów. Zmniejszmy zatem
(bardzo radykalnie) krok zmiennej zakresowej - z 2 na 0.01 . Teraz punktów będzie ponad 200
razy więcej i będą rozmieszczone ponad 200 razy gęściej:
- 12 -
To już jest sinusoida. Można ją jeszcze zaopatrzyć w opisane skale, podpisy itp. W tym celu należy
kliknąć podwójnie na wykresie. Pojawi się tablica formatowania wykresu. Można ją także wywoływać
klikając na napis X-Y Plot w submenu Graph rozwijanego po kliknięciu na przycisk Format
menu głównego.
Rysunek poniżej po lewej pokazuje menu tablicy formatowania wykresu jakie pojawia się po
naciśnięciu na jej przycisk X-Y Axes ( Osie X-Y ).
Dolna część menu pozwala na wybór stylu w jakim będą pokazywane osie wykresu. Styl w jakim
były dotychczas pokazywane to Boxed - Pudełko . Jeżeli zaznaczymy styl Crossed zamiast
prostokącika pojawią się prostopadłe krzyżujące się linie. W opcji None w ogóle nie będzie osi.
Wypróbuj te ustawienia nie wychodząc z trybu formatowania, a jedynie klikając na przycisk
Zastosuj . (Wcześniej przesuń tablicę formatowania w miejsce, w którym nie przesłania
formatowanego wykresu.)
Poeksperymentuj także z ustawieniami osi (X-Axis, Y-Axis):
Log Scale - skala logarytmiczna; Grid Lines - linie siatki;
Numbered - osie opisane liczbami; Autoscale - automatyczne dobieranie skali;
Show markers - dodatkowe linie-znaczniki (trzeba wyjść z menu formatowania);
Auto Grid - automatyczne dobieranie siatki; Number of grids - liczba linii siatki
Gdy chcemy wprowadzić do wykresu dodatkowe linie-znaczniki ( markers ) (można dodać po dwa
na każdej osi) trzeba zaznaczyć to na polu wyboru (show markers) i wyjść z tablicy formatowania. Na
wykresie pojawią się dodatkowe prostokąciki (placeholders). Trzeba w nie wpisać wartości, które
mają pokazywać te linie. Chcąc zmienić ustawienia już istniejących znaczników trzeba kliknąć na
opisujących je liczbach i zmienić je na nowe.
- 13 -
Po wypróbowaniu innych ustawień ostatecznie wprowadz ustawienia takie jak na rysunku.
Kolejny rysunek (po prawej obok pierwszego) pokazuje menu tablicy formatowania wykresu jakie
pojawia się po naciśnięciu na przycisk Traces ( Linie wykresu ).
W edytowanym przykładzie jest tylko jeden przebieg. Ma on etykietkę ( Trace legend ): trace 1 .
Punkty przebiegu nie są oznaczane - opcja Symbol ma wartość none (tj. żaden ). Przebieg jest
wyrysowany linią ciągłą ( Solid ), kolor linii jest czerwony ( Red ), punkty łączone są linią ( Line ),
grubość linii ( Weight ) ustawiono na 3 . Pokazywane są argumenty funkcji, schowany jest
natomiast jej opis ( Hide legend ) (opcja Hide arguments ujawnia się dopiero po wyjściu z
edytowania).
Poeksperymentuj z różnymi ustawieniami przebiegu. Ostatecznie wprowadz ustawienia jak na
rysunku.
Kolejne rysunki pokazują menu tablicy formatowania jakie pojawia się po naciśnięciu na przyciski
Labels ( Etykietki ) i Defaults ( Ustawienia domyślne ). Wydają się one być wystarczająco
czytelne. Menu Labels umożliwia opisywanie wykresu. Menu Defaults służy do ustawienia
wprowadzonych opcji jako domyślnych.
Poeksperymentuj z opisem przebiegu. Ostatecznie wprowadz ustawienia jak na rysunku.
Po wprowadzeniu ustawień jak na rysunkach wykres będzie wyglądał następująco:
Ćwiczenie 1.09.1.
Zdefiniuj funkcje podane przez prowadzącego ćwiczenie. Sporządz ich wykresy dla zadanych
przedziałów. Ustaw parametry wykresów inne niż domyślne. Opisz wykresy.
Uporządkuj swój dokument MathCAD i zapisz go na dysku.
- 14 -
Część III
1.10. Wykreślanie kilku funkcji na jednym wykresie, powiększanie części wykresu,
odczytywanie wartości funkcji z wykresu.
MathCAD umożliwia wykreślanie kilku funkcji na jednym wykresie. W tym celu trzeba je
oczywiście zdefiniować. Następnie wywołać wykres szkieletowy , wpisać nazwę zmiennej
zakresowej w znacznik osi X, a następnie w znacznik osi Y wpisać wyrażenie określające funkcje,
przedzielając je w trakcie wprowadzania przecinkiem (przecinkami) - program przeniesie wyrażenie
po przecinku do nowej linii.
Każda z wykreślanych funkcji może być zdefiniowana dla innej zmiennej zakresowej. Zmienne
wpisujemy w znacznik osi X oddzielajÄ…c je przecinkami:
Poszczególne części wykresu można powiększać. Służy do
tego narzędzie X-Y Zoom wywoływane z submenu
Graph rozwijanego po kliknięciu na przycisk Format
menu głównego.
Najpierw należy kliknąć na wykres, następnie wywołać
X-Y Zoom , a potem przycisnąć lewy klawisz myszki na
wykresie i ciągle go przyciskając zaznaczyć obszar, który ma
być powiększony. Nastąpi to po kliknięciu na przycisk
Zoom narzędzia. Powrót do poprzedniego widoku po
kliknięciu na przycisk Unzoom , do całego wykresu po
kliknięciu na przycisk Full View .
- 15 -
Ćwiczenie 1.10.1.
Utwórz nowy dokument MathCAD a. Zapisz go na dysku pod taką samą nazwą jak dokumenty
poprzednie lecz z dopisanym kolejnym numerem.
Zdefiniuj funkcje podane przez prowadzącego ćwiczenie. Sporządz ich wspólne wykresy dla
zadanych przedziałów. Przekopiuj w inne miejsce a następnie powiększ wskazane przez
prowadzÄ…cego fragmenty.
MathCAD umożliwia odczytywanie wartości funkcji z wykresu. W ten sposób można np.
doświadczalnie znalezć jej wartość maksymalną w jakimś przedziale albo punkt przecięcia dwu
krzywych. Służy do tego narzędzie X-Y Trace wywoływane z submenu Graph rozwijanego po
kliknięciu na przycisk Format menu głównego.
Najpierw należy kliknąć na wykres, następnie wywołać X-Y Trace , a potem kliknąć myszka na
wykresie. Pojawią się dwie przerywane linie. Współrzędne ich przecięcia pokazują się w
odpowiednich okienkach narzędzia X-Y Trace . Rysunek pokazuje wyznaczanie współrzędnych
punktu przecięcia się wykresów sinusa i kosinusa. Jeżeli zaznaczyć opcję Track Data Points
pokazywane są wartości funkcji w punktach wyznaczonych przez wartości zmiennej zakresowej.
Ćwiczenie 1.10.2.
Wyznacz przy pomocy narzędzia X-Y Trace wskazane przez prowadzącego wartości na
wykonanych wcześniej wykresach. Porównaj z wartościami wyliczonymi dla wybranych punktów
osobno.
1.11. Wykreślanie zależności uzyskanych na podstawie pomiarów.
Dotychczas sporządzaliśmy wykresy funkcji danych analitycznie. Przy pomocy programu
MathCAD można sporządzać również wykresy zależności uzyskanych empirycznie, na podstawie
pomiarów.
Dane empiryczne, które mają być analizowane przy pomocy programu MathCAD wygodnie jest
przedstawić w postaci wektorów tj. jednokolumnowych macierzy. Jeżeli jest ich dużo mogą być one
wprowadzane automatycznie, bezpośrednio z urządzeń pomiarowych. Dla pomiarów
przeprowadzanych w ramach niniejszych ćwiczeń nie jest to konieczne - dane będą wprowadzane
ręcznie .
Macierz (a więc i jednokolumnową macierz: wektor) można utworzyć posługując się paletą
wektorów i macierzy ( Vector and Matrix Toolbar ). Po kliknięciu na ikonkę z rysunkiem macierzy
(w lewym górnym rogu palety) pojawia się menu umożliwiające ustalenie ile nowotworzona macierz
(wektor) ma mieć wierszy (rows), a ile kolumn (columns). Menu tworzenia macierzy można też
wywołać naciskając jednocześnie klawisze Ctrl i M .
Naciśnięcie przycisku OK powoduje utworzenie macierzy (wektora) o tylu wierszach i kolumnach
jak to zostało zadeklarowane. (Przyciski Insert i Delete służą do edycji już utworzonej macierzy -
do dodania do macierzy elementów lub ich usunięcia).
- 16 -
Utwórzmy wektor o dziesięciu elementach i przypiszmy go zmiennej o nazwie U (niech to będą
kolejne wartości napięcia przykładanego do jakiegoś badanego elementu). W tym celu należy wypisać
nazwę zmiennej, potem znak przypisania a następnie wprowadzić macierz o jednej kolumnie i
dziesięciu wierszach. Teraz w miejsce znaczników występujących w miejscu elementów macierzy
(wektora) należy wpisać odpowiednie wartości. Jeżeli będziemy chcieli przeprowadzać na nich
pózniej obliczenia lepiej by były one uporządkowane (rosnąco lub malejąco) - niektóre aplikacje
MathCAD a tego wymagajÄ….
Załóżmy, że w trakcie eksperymentu mierzyliśmy prądy jakie płynęły przez badany element po
przyłożeniu do jego zacisków napięć podanych w wektorze U . Zapiszmy je w wektorze I . Wektor
ten musi mieć oczywiście tyle samo elementów co wektor U . Wartości występujące w
poszczególnych elementach tego nowego wektora są natężeniami prądu występującymi przy
przykładaniu do badanego elementu napięć z elementów wektora U o takim samym numerze.
Adres n-tego elementu wektora U ma postać: Un , gdzie n to kolejny numer elementu, jego
indeks. Wyrażenie to można wypisać z klawiatury jako ciąg znaków: U [ n (zamiast n trzeba
oczywiście wprowadzić odpowiednią liczbę). Można je też wprowadzić z palety arytmetycznej
( Calculator Toolbar ). Przycisk (drugi od prawej w górnym rzędzie): Xn .
Element pierwszy ma numer (indeks) zero (zatem ostatni
element ma indeks 9 ).
UWAGA!: Niezwykle łatwo jest pomylić indeks z subskryptem.
Na ekranie różnią się jedynie tym, że indeks jest zapisany
mniejszÄ… czcionkÄ™.
Sporządzmy teraz charakterystykę prądowo-napięciową
badanego elementu, a więc wykres zależności natężenia prądu
od napięcia.
Przy sporządzaniu wykresów funkcji danych w postaci
analitycznej zmienna niezależna musiała być podana jako tzw.
wartość zakresowa, a więc jako pewien zbiór (wektor)
uporządkowanych wartości kolejno przez nią przybieranych. Wektor U jest takim właśnie zbiorem -
jego elementy są uporządkowane rosnąco. (Jest to wymóg jaki musi on spełniać - alternatywnie może
być uporządkowany malejąco.) Zatem do znacznika na osi rzędnych (na osi iksów ) wykresu
wpisujemy U . W znacznik na osi odciętych ( igreków ) wpisujemy symbol zmiennej niezależnej I -
też danej jako wektor:
Wykres poprowadzono linią przerywaną by podkreślić, że są to tylko odcinki łączące
punkty pomiarowe, a nie jakaÅ› rzeczywista charakterystyka (do tego tematu jeszcze
wrócimy).
Zmienne U i I na osiach wykresu można również podawać jako uzależnione od
- 17 -
pewnej zmiennej zakresowej, której wartościami są indeksy wektorów (niekoniecznie wszystkie).
Wtedy trzeba zdefiniować odpowiednią zmienną (np.: n := 0..9 ) zaś zmienne U i I zapisać na
osiach w formie Un i In (n jest tu indeksem).
Sprawdz czy to działa.
Ćwiczenie 1.11.1.
Jeżeli pomnożyć wartość napięcia przez wartość natężenia prądu wymuszonego tym napięciem,
otrzymuje się wartość mocy z jaką badany element pobiera energię elektryczną.
Aby przeprowadzić takie wyliczenie dla wartości zawartych w wektorach U i I należy je
wykonać dla każdej odpowiadającej sobie pary napięć i prądów oddzielnie. Otrzymane wyniki można
następnie umieszczać w odpowiednich elementach nowego wektora, powiedzmy wektora P , np:
Wypisanie powyższej deklaracji jest jednoznaczne z zadeklarowaniem zmiennej P , której
przyporządkowany jest czteroelementowy (pamiętajmy, że w macierzach MathCAD a numeracja
elementów zaczyna się od zera) wektor z elementem o indeksie 3 o wartości jaka wynika z
wyliczenia. Elementy wektora o indeksach mniejszych od trzech przyjmują wartość zero.
Chcąc aby MathCAD wyliczył wartości mocy dla wszystkich elementów wektorów U i I
należy utworzyć zmienną zakresową zawierającą wszystkie indeksy wektorów a następnie kazać
programowi wykonać to wyliczenie podając zmienną zamiast konkretnego indeksu:
Dla omawianych w pkcie 1.11. przykładowych danych sporządz wykresy mocy w funkcji napięcia i
w funkcji natężenia.
Ćwiczenie 1.11.2.
Sporządz inne wykresy zadane przez prowadzącego ćwiczenie.
1.12. Rozwiązywanie równań z jedną niewiadomą
MathCAD oferuje kilka narzędzi do rozwiązywania równań oraz ich układów. Zapoznajmy się z
jednym z nich: procedurÄ… Given - Find wykorzystujÄ…cÄ… operatory Given i Find(x). Procedura
przeznaczona jest do rozwiązywania układów równań ale można przy jej pomocy rozwiązywać także
pojedyncze równania (są one przecież szczególnym przypadkiem układu równań).
Program wyznacza pierwiastek równania metodą przeszukiwania: podstawia za niewiadomą kolejno
różne liczby (według pewnego algorytmu) i sprawdza czy lewa strona równania jest równa prawej (z
dokładnością, którą można zadeklarować). Jako rozwiązanie podaje pierwszą napotkaną liczbę
(zawsze tylko jedną), dla której równanie jest spełnione.
Przeszukiwanie rozpoczynane jest od wartości początkowej (guess value), którą programowi trzeba
podać.
Stąd rozwiązanie równania zaczyna się od podania tej wartości. Może ona być najzupełniej dowolna
(z pewnymi ograniczeniami, o których jeszcze będziemy mówić).
Następnie musi zostać wypisane słowo kluczowe Given (po angielsku: jest dane ).
Teraz wypisuje się równanie.
Program MathCAD ściśle rozróżnia poszczególne znaczenia wieloznacznego znaku równości: = .
Tu jest on znakiem równości logicznej. Wprowadza się go naciskając jednocześnie klawisze Ctrl i =.
Wizualnie, na ekranie jest to znak równości pogrubiony. Można go też wprowadzić z palety
matematycznej Evaluation and Boolean Toolbar .
Rozwiązanie równania otrzymuje się wypisując operator Find(nazwa_niewiadomej).
Poszczególne elementy procedury muszą być wypisane w takiej właśnie kolejności (z góry na dół
lub z lewa w prawo)
Rozwiążmy przykÅ‚adowo równanie: x2 - 2 Å" x = 3 . Zadajmy programowi jako wartość poczÄ…tkowÄ…
(guess value) x = 2 :
- 18 -
Taka postać wyniku byłaby niewygodna gdybyśmy chcieli go użyć do dalszych obliczeń. Wtedy
lepiej zapisać go jako wartość jakiejś zmiennej. Nazwijmy tę zmienną np. wynik :
Rozwiązywane równanie jest równaniem kwadratowym. Powinno mieć zatem dwa pierwiastki
(inna możliwość to jeden pierwiastek tzw. podwójny). Program znalazł pierwiastek najbliższy zadanej
mu wartości początkowej ( x = 2 ). Aby znalezć drugie rozwiązanie trzeba podać inną wartość
początkową, bliższą temu drugiemu rozwiązaniu. Nie musi się to zakończyć sukcesem. Przy zle
dobranym warunku początkowym program nie znajduje rozwiązania. Spróbujmy z wartością x = -1:
Program wypisał (po angielsku) komunikat: Nie mogę znalezć rozwiązania układu równań
(pamiętajmy, że procedura przeznaczona jest do rozwiązywania układów równań). Wypróbuj inną
wartość początkową albo sprawdz czy rozwiązanie rzeczywiście istnieje.
Spróbujmy zatem raz jeszcze z inną wartością początkową. Niech będzie nią x = -5 :
Otrzymaliśmy drugi pierwiastek.
Jeżeli rozwiązanie ma być liczbą zespoloną wartość początkowa też musi być liczbą zespoloną.
Rozwiążmy przykÅ‚adowo równanie x2 + 2 Å" x = -5 :
Dla początkowej wartości będącej liczbą rzeczywistą program nie znalazłby rozwiązania.
Ćwiczenie 1.12.1.
Rozwiąż przy pomocy procedury Given - Find równania podane przez prowadzącego ćwiczenie.
1.13. Rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie układu równań przy pomocy procedury Given - Find różni się od rozwiązywania
pojedynczego równania jedynie tym, że wartości początkowe podawane są dla więcej niż jednej
niewiadomej a operator Find ma więcej argumentów (niż jeden).
Rozwiążmy przykładowo układ równań:
Å„Å‚x2 + y2 = 6
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ółx + y = 2
Odpowiedni fragment dokumentu MathCAD wygląda jak niżej:
- 19 -
Wynik można również zapisać jako dwuelementową macierz (wektor) zmiennych x i y :
Inny sposób wyprowadzania wyniku to przypisanie go jakiejś zmiennej. Jako swoją wartość
zmienna przyjmie wartości wektora wyników:
Ćwiczenie 1.13.1.
Rozwiąż przy pomocy procedury Given - Find równania podane przez prowadzącego ćwiczenie.
Na koniec każdej z części ćwiczenia uporządkuj utworzony w trakcie ćwiczenia dokument
MathCAD. Dokument powinien wyglądać estetycznie.
Pamiętaj o opisach, w tym o podaniu imion i nazwisk wszystkich członków ćwiczącej grupy.
Zapisuj dokument na dysku.
- 20 -
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
01 Wprowadzenie do programowania w jezyku C01 wprowadzenie do teorii eksploatacji statkow powietrznych podstawowe pojecia i definicjeid)90Wykład 01 Wprowadzenie do sieci telekomunikacyjnychWprowadzenie do Mathcada część 1Linux asm lab 07 (Wprowadzenie do Linux a i Asemblera )wprowadzenie do MathCAD a01 wprowadzenie do przedmiotu01 Wprowadzenie do Visual Studio cwiczenia przygotowujace01 [Wprowadzenie do rekolekcji] Gdzie jest Bóg, gdy go potrzebuję !01 Wprowadzenie do badań materiałówLab Wprowadzenie do jezyka CLab Wprowadzenie do systemu UNIXLab Wprowadzenie do jezyka Cwięcej podobnych podstron