NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM ROZSZERZONY
24 MARCA 2012
CZAS PRACY: 180 MINUT
ZADANIE 1 (5 PKT.)
Rozwiąż nierówność |6 - 2x| - 4 |5 + 3x|.
ROZWIZANIE
Zapiszmy podaną nierówność w postaci
|2x - 6| - 4 |3x + 5|.
Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną zeruje się dla x = 3, a wyrażenie pod
drugą dla x = -5, więc mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.
3
Jeżeli x < -5 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i
3
mamy nierówność
- (2x - 6) - 4 -(3x + 5)
x -7.
Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział: (- ", -7 .
Jeżeli -5 x < 3 to mamy nierówność
3
- (2x - 6) - 4 5 + 3x
- 3 5x / : 5
3
- x.
5
W tym przypadku otrzymujemy więc przedział rozwiązań: -3, 3 .
5
Jeżeli wreszcie x 3 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są do-
datnie i mamy nierówność
2x - 6 - 4 3x + 5
- 15 x.
W tym przypadku otrzymujemy więc zbiór rozwiązań: 3, + ").
Rozwiązaniem nierówności jest więc
3
(- ", -7 *" - , + " .
5
Odpowiedz: (- ", -7 *" -3, + "
5
Materiał pobrany z serwisu
1
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 2 (4 PKT.)
Uzasadnij, że 8027 < 2836.
ROZWIZANIE
Sposób I
Ponieważ oba wykładniki są wielokrotnościami 9, zapiszmy obie liczby jako potęgi z wy-
kładnikiem 9.
9
8027 = 803 = 5120009
9
2836 = 284 = 6146569.
Widać teraz, że 2836 > 8027.
Sposób II
Tym razem spróbujemy obie liczby zapisać jako potęgi z wykładnikiem 36. W tym celu sza-
cujemy
8027 < 8127 = (34)27 = (33)36 = 2736.
Widać teraz, że ta liczba jest mniejsza od 2836.
ZADANIE 3 (4 PKT.)
3b + 2ab = 1
Wykaż, że nie istnieje para liczb (a, b) spełniająca układ równań
a2 + b2 + 3a = -4.
ROZWIZANIE
Sposób I
Dodajmy równania układu stronami.
a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab = -3
(a + b)2 + 3(a + b) = -3
(a + b + 3)(a + b) = -3.
Podstawmy teraz x = a + b.
(x + 3)x = -3
x2 + 3x + 3 = 0
" = 9 - 12 < 0.
Otrzymane równanie kwadratowe jest sprzeczne, więc układ nie ma rozwiązań.
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
2
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Przekształćmy drugie równanie zwijamy do pełnego kwadratu.
9 9
a2 + 3a + + b2 - = -4
4 4
2
3 7
a + + b2 = - .
2 4
Oczywiście suma kwadratów nie może być liczbą ujemną, więc drugie równanie układu jest
sprzeczne.
Sposób III
1
Podstawiamy b = z pierwszego równania do drugiego.
3+2a
1
a2 + + 3a = -4 / (3 + 2a)2
(3 + 2a)2
a2(3 + 2a)2 + 1 + 3a(3 + 2a)2 = -4(3 + 2a)2
(3 + 2a)2(a2 + 3a + 4) = -1.
Teraz wystarczy zauważyć, że oba wyrażenia z lewej strony są nieujemne (" trójmianu w
drugim nawiasie jest ujemna). Równanie to jest więc sprzeczne.
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (4 PKT.)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 sin2 x + sin x cos x + 3 cos2 x = 3 należące do
przedziału 0, 2Ą .
ROZWIZANIE
Przekształcamy (korzystając z jedynki trygonometrycznej).
2 sin2 x + sin x cos x + 3 cos2 x = 3
2 sin2 x + sin x cos x + 3(1 - sin2 x) = 3
- sin2 x + sin x cos x = 0
sin x(- sin x + cos x) = 0
sin x = 0 (" sin x = cos x.
Rozwiązaniem pierwszego równania (w danym przedziale) są liczby {0, Ą, 2Ą}, a drugie
równanie możemy przekształcić następująco:
sin x = cos x / : cos x
tg x = 1
(dzieliliśmy przez cos x, bo widać, że jeżeli cos x = 0 to równanie jest sprzeczne). Mamy
Ą 5Ą
stąd dwa dodatkowe rozwiązania: , .
4 4
Ą 5Ą
Odpowiedz: x " 0, , Ą, , 2Ą
4 4
Materiał pobrany z serwisu
3
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 5 (6 PKT.)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków
równania
3 1 8 - 2m
= -
x + 3 m x2 + 2x - 3
5
jest równa .
m-3
ROZWIZANIE
Oczywiście musi być x = -3, m = 0 i m = 3. sprawdzmy jeszcze kiedy zeruje się trójmian
w mianowniku.
x2 + 2x - 3 = 0
" = 4 + 12 = 16
-2 - 4 -2 + 4
x = = -3 (" x = = 1.
2 2
Musimy więc dodatkowo założyć, że x = 1. Przy okazji okazało się również, że
x2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3),
co pozwala dość łatwo pozbyć się ułamków w równaniu.
3 1 8 - 2m
= - / m(x - 1)(x + 3)
x + 3 m (x - 1)(x + 3)
3m(x - 1) = x2 + 2x - 3 - (8 - 2m)m
0 = x2 + x(2 - 3m) + (2m2 - 5m - 3).
Otrzymaliśmy więc zwykłe równanie kwadratowe z parametrem. Sprawdzmy, kiedy rów-
nanie to ma pierwiastki.
0 " = (2 - 3m)2 - 4(2m2 - 5m - 3) =
= 4 - 12m + 9m2 - 8m2 + 20m + 12 =
= m2 + 8m + 16 = (m + 4)2.
Równanie ma więc zawsze pierwiastki i możemy skorzystać ze wzorów ViŁte a.
5 1 1 x1 + x2 -(2 - 3m)
= + = =
m - 3 x1 x2 x1x2 2m2 - 5m - 3
5 3m - 2
= .
m - 3 2m2 - 5m - 3
Zanim rozwiążemy to równanie, bądzmy ostrożni i sprawdzmy jakie są miejsca zerowe
mianownika.
2m2 - 5m - 3 = 0
" = 25 + 24 = 49
5 - 7 1 5 + 7
m = = - (" m = = 3.
4 2 4
Materiał pobrany z serwisu
4
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Zakładamy więc dodatkowo, że m = -1. Przy okazji okazało się, że
2
1
2m2 - 5m - 3 = 2 m + (m - 3) = (2m + 1)(m - 3),
2
co pozwala łatwo uprościć równanie
5 3m - 2
= / (2m + 1)(m - 3)
m - 3 (2m + 1)(m - 3)
10m + 5 = 3m - 2
7m = -7
m = -1.
Na koniec sprawdzmy, czy otrzymana wartość m spełnia wszystkie poczynione wcześniej
założenia. Wprawdzie nigdzie nie założyliśmy, że m = -1, ale założyliśmy, że x = -3 i
x = 1. Sprawdzmy więc, czy rozwiązaniem równania dla m = -1 nie jest jedna z tych liczb.
Równanie kwadratowe dla m = -1 przyjmuje postać
0 = x2 + 5x + 4
" = 25 - 16 = 9
-5 - 3 -5 + 3
x1 = = -4, x2 = = -1.
2 2
1 1 5
Zatem wszystko jest w porządku (widać też, że rzeczywiście + = = -5).
x1 x2 m-3 4
Odpowiedz: m = -1
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 63, a ich iloczyn jest równy
5832. Wyznacz ten ciąg.
ROZWIZANIE
Sposób I
Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to są one postaci a, aq, aq2. Mamy zatem układ
równań
a + aq + aq2 = 63
a(aq)(aq2) = 5832
a(1 + q + q2) = 63
a3q3 = 5832.
Widać, że musimy wyciągnąć pierwiastek 3 stopnia z liczby 5832. Można łatwo to zrobić
dzieląc ją przez sześciany, np. łatwo zauważyć, że dzieli się ona przez 3, więc próbujemy
Materiał pobrany z serwisu
5
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
podzielić ją przez 27. Dzieli się też przez 2, więc dzielimy ją przez 8. Otrzymamy w ten
sposób 5832 = 33 23 33 = 183. Mamy zatem
a(1 + q + q2) = 63
(aq)3 = 183
a(1 + q + q2) = 63
aq = 18.
Prowadzi to do równania
18 q
(1 + q + q2) = 63 /
q 9
2(1 + q + q2) = 7q
2q2 - 5q + 2 = 0
" = 25 - 16 = 9
5 - 3 1 5 + 3
q = = (" q = = 2.
4 2 4
1 18 18
Jeżeli q = to a = = 36 i otrzymujemy ciąg (36, 18, 9). Jeżeli natomiast q = 2 to a = =
2 q q
9 i otrzymujemy ciąg (9, 18, 36).
Sposób II
Szukamy trzech liczb a, b, c spełniających warunki
ńł
ł + + =
ła b c 63
abc = 5832
ł
ółb2 ac.
=
Podstawiamy ac = b2 z trzeciego równania do drugiego.
b3 = 5832 ! b = 18.
Mamy więc układ równań
a + c = 45
ac = 324.
Podstawiamy a = 45 - c z pierwszego równania do drugiego.
(45 - c)c = 324
0 = c2 - 45c + 324
" = 452 - 324 4 = 729 = 272
45 - 27 45 + 27
c = = 9 (" c = = 36.
2 2
Mamy wtedy a = 45 - c = 36 i a = 45 - c = 9 odpowiednio.
Odpowiedz: (36, 18, 9) oraz (9, 18, 36)
Materiał pobrany z serwisu
6
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
ZADANIE 7 (5 PKT.)
"
W trójkącie ABC, w którym |AC| = 5, |BC| = 4 2 i |AB| = 7 na boku AB wybrano taki
punkt D, że |AD| = 2. Oblicz sinus kąta ADC.
ROZWIZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
C
5
4 2
ą
A B
D
2 5
Sinus kąta ADC możemy wyliczyć korzystając z twierdzenia sinusów lub cosinusów
w trójkącie ADC, ale zanim to zrobimy musimy obliczyć długość odcinka CD. Możemy
obliczyć tę długość pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC do tego potrzebujemy
cos ą = cos CAD.
Liczymy. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC.
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB AC cos ą
32 = 49 + 25 - 2 7 5 cos ą
70 cos ą = 42
42 3
cos ą = = .
70 5
Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC.
CD2 = AD2 + AC2 - 2AD AC cos ą
3
CD2 = 4 + 25 - 2 2 5
5
CD2 = 29 - 12 = 17
"
CD = 17.
Interesujący nas sin = sin ADC obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Chcemy skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ADC. Najpierw obliczmy jednak
sin ą.
9 4
sin ą = 1 - cos2 ą = 1 - = .
25 5
Materiał pobrany z serwisu
7
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie ADC.
CD AC
=
sin ą sin
"
17 5
=
4
sin
5
"
5 4 4 4 17
" "
sin = = = .
5 17
17 17
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Piszemy twierdzenie cosinusów w trój-
kącie ADC.
AC2 = AD2 + CD2 - 2AD CD cos
"
25 = 4 + 17 - 2 2 17 cos
"
4 17 cos = -4
-1
cos = "
17
Pozostało skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
"
1 16 4 4 17
"
sin = 1 - cos2 = 1 - = = = .
17 17 17
17
"
4 17
Odpowiedz: sin ADC =
17
ZADANIE 8 (4 PKT.)
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a. Pole
podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie
powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była najwięk-
sza?
ROZWIZANIE
Oznaczmy przez H długość wysokości graniastosłupa, a przez ą kąt przy wierzchołku trój-
kąta równoramiennego w podstawie.
D
F
E
H
A C
a ą
a
B
Materiał pobrany z serwisu
8
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Pole podstawy jest równe
1
Pp = a2 sin ą.
2
Z drugiej strony wiemy, że jest ono równe sumie pól dwóch ścian bocznych, czyli
1 1
a2 sin ą = 2aH ! H = a sin ą.
2 4
Zatem objętość graniastosłupa jest równa
1 1 1
V = Pp H = a2 sin ą a sin ą = a3 sin2 ą.
2 4 8
Objętość będzie największa, gdy sin ą = czyli dla ą = 90ć%. Wtedy podstawa trójkąta ABC
"1,
1
ma długość (twierdzenie Pitagorasa): a 2, a wysokość: a.
4
"
a
Odpowiedz: Trójkąt w podstawie: a, a, a 2, wysokość: .
4
ZADANIE 9 (4 PKT.)
Dane są punkty A = (-1, 3) i B = (-4, 2). Wyznacz współrzędne punktu C na prostej
y = -x + 5 tak, aby pole trójkąta ABC było równe 7.
ROZWIZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
y
C
+5
A
B
+1
C
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
Sposób I
Obliczmy długość podstawy trójkąta ABC
" "
AB = (-4 + 1)2 + (2 - 3)2 = 9 + 1 = 10.
Materiał pobrany z serwisu
9
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Z podanego pola obliczamy jaka jest długość wysokości opuszczonej na bok AB.
1 14
"
7 = AB h ! h = .
2
10
Co dalej? szukamy punktu C na danej prostej, który jest w odległości h od prostej AB.
Napiszmy najpierw równanie prostej AB. Można to zrobić korzystając ze wzoru na rów-
nanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my zrobimy to wprost: szukamy prostej
w postaci y = ax + b. Podstawiamy współrzędne punktów A i B.
3 = -a + b
2 = -4a + b
Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b) i mamy
1
1 = -a + 4a ! a = .
3
10
Zatem b = 3 + a = i prosta AB ma równanie:
3
1 10
y = x + / 3
3 3
3y - x - 10 = 0.
Sprawdzamy teraz, kiedy odległość punktu C = (x, -x + 5) od prostej AB jest równa h.
"
|3(-x + 5) - x - 10| 14
" = " / 10
9 + 1 10
| - 4x + 5| = 14
- 4x + 5 = -14 (" -4x + 5 = 14
4x = 19 (" 4x = -9
19 9
x = (" x = - .
4 4
1 29 19 1
Wtedy y = -x + 5 = i y = -x + 5 = odpowiednio. Zatem C = , lub C =
4 4 4 4
29
-9, .
4 4
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA, yA), B = (xB, yB) i C =
(xC, yC).
1
PABC = |(xB - xA)(yC - yA) - (yB - yA)(xC - xA)|.
2
W naszej sytuacji C = (x, -x + 5), więc mamy równanie
1
7 = |(-4 + 1)(-x + 5 - 3) - (2 - 3)(x + 1)|
2
14 = | - 3(2 - x) + (x + 1)|
14 = |4x - 5|
4x - 5 = -14 (" 4x - 5 = 14
4x = -9 (" 4x = 19
9 19
x = - (" x = .
4 4
Materiał pobrany z serwisu
10
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
1 29 19 1
Wtedy y = -x + 5 = i y = -x + 5 = odpowiednio. Zatem C = , lub C =
4 4 4 4
29
-9, .
4 4
19 1 29
Odpowiedz: C = , lub C = -9,
4 4 4 4
ZADANIE 10 (5 PKT.)
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz
jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para
liczb o sumie równej 14.
ROZWIZANIE
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest
13 13 12 11 10 13 12 11 10
= = = 13 11 5.
4 4! 2 3 4
Wypiszmy wszystkie pary liczb, które w sumie dają 14.
(1, 13), (2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8).
Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).
Sposób I
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych
par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje 13 - 2 = 11
liczb i z nich musimy wybrać jeszcze dwie. Dwie pozostałe liczby możemy wybrać na
11 11 10
= = 55
2 2
sposobów. Od tych 55 możliwych par musimy jednak odjąć 5 par, w których suma jest równa
14. W sumie 3 i 4 liczbę możemy więc wybrać na 55 - 5 = 50 sposobów. Jest więc
6 50
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe
6 50 6 10 60
= = .
13 11 5 13 11 143
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
11
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych
par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie
sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie. Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych
liczb to czwarta liczba może być którąkolwiek z pozostałych 13 - 2 - 1 = 10 liczb. Jest więc
6 10 = 60
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to pozostałe dwie liczby wybiera-
my spośród 5 par tak, aby dwie liczby nie były z jednej pary. W takim razie trzecią liczbę
wybieramy dowolnie spośród 13 - 2 - 1 = 10 liczb (odejmujemy wybraną na początku pa-
rę i 7), a czwartą liczbę wybieramy spośród 13 - 2 - 1 - 2 = 8 liczb (odejmujemy pierwszą
parę, 7-kę, oraz parę trzeciej liczby). Teraz bardzo łatwo popełnić błąd zauważmy, że przy
takim sposobie liczenia, np. czwórkę {1, 13, 2, 3} policzyliśmy dwukrotnie: jako (1, 13, 2, 3) i
(1, 13, 3, 2)! W takim razie zdarzeń bez 7-ki jest
6 10 8
= 60 4.
2
Zdarzenia bez 7-ki mogliśmy też policzyć inaczej: parę z sumą równą 14 możemy wybrać na
6 sposobów, potem wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić dwie pozostałe liczby
możemy to zrobić na
5 5 4
= = 10
2 2
sposobów. Na koniec musimy jeszcze uwzględnić, że w każdej z tych dwóch ostatnich par
mamy możliwość wyboru jednej z dwóch liczb. Daje to w sumie
6 10 2 2 = 60 40.
możliwości.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
60 + 60 4 60 5 60 60
p = = = = .
13 11 5 13 11 5 13 11 143
Sposób III
Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia A, obliczymy praw-
dopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A . Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarze-
niu A : albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.
Aatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14 jest ich tyle, ile moż-
liwości wybrania 2 par spośród 6 par wypisanych powyżej. Jest więc
6 6 5
= = 15
2 2
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pocho-
dzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.
Materiał pobrany z serwisu
12
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe trzy liczby wybieramy 3
pary, z których będą pochodzić, możemy to zrobić na
6 6 5 4
= = 20
3 3!
sposobów. Ponadto w każdej z 3 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb jest
więc
20 2 2 2 = 20 8
takich par.
Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 4 różnych par,
co możemy wybrać na
6 6 5 4 3
= = 15
4 4!
sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc
15 2 2 2 2 = 15 16
takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo jest więc równe.
15 + 20 8 + 15 16
P(A) = 1 - P(A ) = 1 - =
13 11 5
3 + 4 8 + 3 16 83 60
= 1 - = 1 - = .
13 11 143 143
Sposób IV
Tym razem będziemy uwzględniać kolejność w jakiej losowane są liczby, czyli za zdarzenia
elementarne przyjmiemy czwórki (a, b, c, d) wylosowanych liczb. Mamy zatem
|&!| = 13 12 11 10.
Liczymy ile jest zdarzeń sprzyjających.
Najpierw zdarzenia w których jest 7. Do tej siódemki musimy dobrać parę liczb z sumą
równą 14 możemy to zrobić na 6 sposobów, a potem jeszcze jedną dowolną liczbę spo-
śród pozostałych 10 liczb. Na koniec musimy ustalić kolejność wybranych liczb, co możemy
zrobić na 4! sposobów. W sumie jest więc
6 10 4! = 60 24
takich zdarzeń.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń bez 7-ki. Musimy wybrać dwie liczby z sumą równą 14
możemy to zrobić na 6 sposobów, potem musimy jeszcze dobrać dwie liczby, których suma
nie jest równa 14. Aatwo tu popełnić błąd, nie możemy liczyć tak: wybieramy liczbę spo-
śród pozostałych 10, a potem ostatnią liczbę możemy wybrać na 8 sposobów przy takim
sposobie liczenia każdą parę liczymy podwójnie.
Materiał pobrany z serwisu
13
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
W takim razie liczmy ostrożniej, aby wybrać dwie liczby, których suma nie jest równa
14, wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby możemy to zrobić na
5 5 4
= = 10
2 2
sposobów, a potem z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb w tej parze. W sumie jest
więc
10 2 2 = 40
możliwości wybrania dwóch liczb, których suma nie jest równa 14. Na koniec możemy 4
wybrane liczby dowolnie permutować, więc jest w sumie
6 40 4! = 6 40 24
zdarzeń bez 7-ki. Prawdopodobieństwo jest więc równe
60 24 + 6 40 24 60 2 + 6 40 2 6 2 + 6 4 2 60
= = = .
13 12 11 10 13 11 10 13 11 143
60
Odpowiedz:
143
ZADANIE 11 (4 PKT.)
Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola przekroju osiowego tego stożka jest rów-
2Ą
"
ny . Oblicz kąt rozwarcia stożka.
3
ROZWIZANIE
Rozpoczynamy od rysunku oznaczmy kąt rozwarcia kąta przez 2ą.
C
ą ą
l
h
A B
r r
D
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
14
NAJWIKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC Z MATEMATYKI
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.
2Ą Ąrl Ąl
" = = / : Ą
1
h
3 2r h
2
l 2
"
= /()-1
h
"3
h 3
=
l 2
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Sposób II
Zauważmy, że
r r
= sin ą ! l =
l sin ą
r r
= tg ą ! h = .
h tg ą
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.
2Ą Ąrl Ąl
" = = / : Ą
1
h
3 2r h
2
r sin ą
2 tg ą 1
sin ą cos ą
" = = = =
r
sin ą sin ą cos ą
3
tg ą
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Sposób III
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinu-
sem).
2Ą Ąrl 2Ąr
" = = / : 2Ą
1
l sin 2ą
3 l2 sin 2ą
2
1 r
" = .
l sin 2ą
3
Zauważmy, że ponadto
r
= sin ą ! r = l sin ą.
l
Mamy zatem
1 r l sin ą sin ą 1
" = = = =
l sin 2ą l sin 2ą 2 sin ą cos ą 2 cos ą
3
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Materiał pobrany z serwisu
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Filozofia poziom rozszerzony Egzamin maturalny 2012Matematyka poziom rozszerzony Egzamin maturalny 2012Jezyk francuski poziom rozszerzony cz2 Egzamin maturalny 2012Jezyk francuski poziom rozszerzony cz1 Egzamin maturalny 20122015 matura JĘZYK NIEMIECKI poziom rozszerzony TESTLubelska Próba Przed Maturą Marzec 2015 GR B Poziom Rozszerzony2015 matura próbna JĘZYK POLSKI poziom rozszerzony ARKUSZwiedza o tańcu poziom rozszerzonyodpowiedzi przykladowy arkusz maturalny poziom rozszerzony wyd 13 rJezyk niemiecki poziom podstawowy Egzamin maturalny 2012Jezyk rosyjski poziom podstawowy Egzamin maturalny 2012więcej podobnych podstron