mat egz 2012

Tematy na egzamin
(1) Rachunek zdań: koniunkcja, alternatywa, implikacja i ich zaprzeczenia; tautologie.
(2) Operacje na zbiorach: suma, przeciecie, różnica, dopeńienie.
ą
(3) Liczby wymierne i niewymierne, wartość bezwzgledna.
ą
(4) Uklady równań liniowych, sposoby rozwiazywania.
ą
(5) Wyznacznik definicja (wzór rekurencyjny rozwiniecie Laplace a) i podstawowe wlasności: lin-
ą
iowość wzgledem kolumn(wierszy), zmiana znaku przy zamianie kolumn(wierszy) miejscami.
ą
(6) Rola wyznacznika w rozwiazywaniu ukladów równań liniowych, wzory Cramera.
ą
(7) Wektory, operacje na wektorach, liniowa niezależność wektorów, rzad macierzy.
ą
(8) Granica ciagu, definicja, podstawowe twierdzenia o granicach: granica sumy, różnicy, iloczynu, ilo-
ą
razu; przyklady ciagów zbieżnych, podstawowe sposoby obliczania granic: wielomian/wielomian,
ą
różnica pierwiastków, ciag geometryczny, procent skladany.
ą
(9) Co to znaczy, że ciag daży do "?
ą ą
(10) Twierdzenie o 3 ciagach, przyklady.
ą
(11) Granica funkcji w punkcie, ciaglość funkcji w punkcie, przyklady funkcji ciaglych i nieciaglych.
ą ą ą
Suma, różnica, iloczyn, iloraz i zlożenie funkcji ciaglych.
ą
(12) Podstawowe wlasności funkcji ciaglych: wlasność Darboux, funkcji ciaglych. przyjmowanie wartości
ą ą
najmniejszej i najwiekszej na odcinku domknietym i ograniczonym.
ą ą
(13) Pochodna funkcji w punkcie, geometryczna interpretacja pochodnej, przyklad funkcji ciaglej i
ą
nieróżniczkowalnej w jakimś punkcie.
(14) Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu; pochodna funkcji zlożonej.
(15) Pochodna funkcji a monotoniczność; ekstrema a pochodna funkcji.
(16) Funkcje elementarne: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potegowe, funkcje trygonometryczne,
ą
funkcja wykladnicza i logarytm. Jakościowy charakter wykresów.
(17) Calka oznaczona idea (pole pod wykresem), podstawowe wlaności.
ą
(18) Funkcja pierwotna, zwiazek z calka oznaczona.
ą ą ą
Przykladowe zadania
(1) Każde zadanie, które pojawilo sie na kolokwiach.
ą
(2) Wiemy, że zdanie (p �! q) '" (<" (r �! q)) jest prawdziwe. Co można orzec o wartości logicznej
zdań p, q, r.
(3) Niech p oznacza zdanie: Jutro bedzie niedziela , q zdanie: Wczoraj byl poniedzialek a s zdanie:
ą
Jutro bedzie środa. W zależności od dnia tygodnia zbadać prawdziwość zdania: (s '" (p (" q)) �!<"
ą
(q '" s).
(4) Ocenić wartość logiczna zdań: a) Jeżeli dziś jest czwartek, to (jeżeli dziś jest piatek, to wczoraj
ą ą
byl wtorek) ; b) Czy możesz podać mi parasol?
(5) Niech A := {n " N : n d" 33 i n dzieli sie przez 8}, B := {n " N : n d" 27 i n dzieli sie przez 6},
ą ą
C := {n " N : n d" 1000 i n dzieli sie przez 17}. Wyliczyć zbiory A \ B , B \ A , A )" B , B *" A , (A )"
ą
C) *" C , (B *" C) )" B , (A )" C) \ (A *" C) , [(C \ B) *" (C )" A] \ C.
(6) Rozwiazać nierówność: |4x + 2| < |x - 1|.
ą
(7) Rozwiazać nierówność: x2 + 5|x| + 6 > 0.
ą
(8) Narysować A, B, A *" B, A )" B, A \ B, B \ A dla A := {x " R : x2 > 4} , B := {x " R : |x| d" 3}
5 11
(9) Podać liczbe niewymierna x, spelniajaca nierówność: < x < .
ą ą ą ą
2 4
(10) Czy uklad równań:
x + 2y + 3z + 4t = 0
4x + 3y + 2z + 4t = 0
3x + y + 2z + 4t = 0
-3x + 4y + 2z - 3t = 0
posiada jednoznaczne rozwiaznie?
ą
(11) Wzory Cramera.
(12) Dane sa produkty A,B,C o zawartości bialka: A 10%, B 30%, C 60%; zawartości weglowodanów:
ą ą
A 20%, B 50%, C 30%; tluszczów: A 65%, B 15%, C 5%; kaloryczności: A 450kcal/100g, B
300kcal/100g, C 250kcal/100g.
" Czy z A i B można ulożyć diete skladajaca sie z 20% bialka i 40% weglowodanów ?
ą ą ą ą ą
1
2
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 30% bialka, 20% tluszczów i 40%
ą ą ą ą
weglowodanów ?
ą
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 25% bialka i 40% tluszczów ?
ą ą ą ą
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 40% bialka i 40% weglowodanów i 2000
ą ą ą ą ą
kcal ?
" Napisać uklad równań dla diety skladajacej sie z A, B, C skladajacej sie z ą% bialka, �%
ą ą ą ą
weglowodanów, ł% tluszczów i K kcal.
ą
(13) Jaka jest suma wszystkich liczb podzielnych przez 7 i mniejszych od 324 ?
2n+3
(14) Czy ciag an := jest monotoniczny.
ą
4n-7
1
(15) Czy ciag an := (-1)nn + jest zbieżny? Odpowiedz uzasadnić.
ą
n
(16) Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla lokaty 5% z kapitalizacja miesieczna.
ą ą ą
n + 4 1
(17) Dla ciagu an := i := znalezć N takie, że dla każdego n > N zachodzi nierówność
ą
3n - 1 81
1
an - < .
3
3n4 + 14n3 + sin (n2 + 1)
(18) Obliczyć lim " , lim n2 + 2n - n2 - 2n,
n" n"
n4 + n
1 cos(3n4 + 11)
lim , lim "
" "
n" n"
n2 + n + 1
n2 + 2n + 1 - n2 - n + 2n
1
(19) Wiemy, że sin(ą) = -"2; obliczyć pozostale funkcje trygonometryczne i określić kat (oczywiście
ą
sa 2 odpowiedzi); a co jeżeli wiemy, iż cos(ą) > 0?
ą
x2+4x-5
(20) Dla jakich wartości a " R funkcja f(x) := , x = 1 oraz f(1) = a jest ciagla?

ą
x-1
(21) Dla jakiego b " R funkcja f(x) := x2 + x + 6 , x e" 0, f(x) := -2x + b , x < 0 jest ciagla?
ą
Naszkicować wykres funkcji f w tym przypadku.
x-2
(22) Czy istnieje taka wartość a " R, że funkcja f(x) := , x = -1, f(-1) = a jest ciagla?

ą
2x+1 2 2
(23) Czy równanie x3 + x - 6 = 0 ma rozwiazanie w przedziale ]1, 2[ ?
ą
3Ą
(24) Czy równanie x = tan x ma rozwiazanie w przedziale ]Ą, [? Jeżeli tak, ile jest rozwiazań?
ą ą
2
"
1 1
(25) Obliczyć z definicji pochodne funkcji: x2 , x3 , , , x.
x x+2
1 3 4
(26) Obliczyć pochodne funkcji: f(x) := 2x3 + x2 + , g(x) := (x2 + 3)3 , h(x) := x2 + , k(x) :=
x+2 x
2 2
sin(2x)
1
, f(x) := e-x , f(x) := log(1 + e-x ). (Wsk: sin (x) = cos x , (ex) = ex , log (x) = )
x+1 x
(27) Korzystajac z tego, że limx0 sin x = 1 obliczyć limx0 sin2(2x)
ą
x x2
(28) Znalezć równanie stycznej do paraboli y = 2x2 + 1 w punkcie (x0, y(x0)) dla x0 = 3.
1
(29) Znalezć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = w punkcie (x0, f(x0)) dla x0 = -1.
x+3
(30) Który z trójkatów równoramiennych o zadanym obwodzie L ma najwieksze pole ?
ą ą
(31) Który z prostopadlościanów o podstawie kwadratowej i zadanej powierzchni calkowitej S ma
najwieksza objetość.
ą ą ą
(32) Który z walców o ustalonej powierzchni calkowitej ma najwieksza objetość.
ą ą ą
(33) Zakladajac, że mamy określona ilość desek i dzialke kwadratowa, na której chcemy wybudować
ą ą ą ą
prostopadlościenna szope bez podlogi, znalezć rozmiar szopy o najwiekszej objetości. k
ą ą ą ą
(34) Obliczyć pole figury ograniczonej wykresami funkcji f(x) := x2 + 1, g(x) := x3 oraz prostymi
x = 0 , x = 1.
(35) Obliczyć pole pod wykresem funkcji f(x) := sin 2x , 0 d" x d" Ą/2. (Wsk: cos (x) = - sin(x))
(36) Samochód poruszal sie po lini prostej z predkościa v(t) := 2t + sin t , 0 d" t d" 3. Naszkicuj wykres
ą ą ą
przejechanej drogi. Jaka calkowita droge przebyl w tym czasie?
ą ą ą
"
1
(37) Obliczyć (x3 + x) dx , (x + ) dx , sin x dx , sin 2x dx
x
(38) Czy funkcja f(x) := |x| jest różniczkowalna w x = 0? A w punkcie x = 1?

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25b
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b
GTMatPrzyr MAT klucz2011 2012
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29a
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25a
SIMR RR EGZ 2012 06 20b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozw
Mat 2011 2012 Rehabilitacja 15 06 2012
SIMR RR EGZ 2012 06 28a
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozw
SIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozw
SIMR RR EGZ 2012 09 18
egz 2012 t1
SIMR RR EGZ 2012 06 20a
SIMR AN2 EGZ 2012 06 25b rozw

więcej podobnych podstron