Ostatnie równanie dowodzi, że:

(8.75)

Podstawiamy wyrażenie na z (8.75) do (8.73) i otrzymujemy równanie dla funkcji



Zatem

,

gdzie A i B są dowolnymi stałymi. Jeżeli dla ustalonego y, to i



Jeżeli dla ustalonego t, to oraz:

,



Stąd wynika, że dla ustalonej wartości y prędkość dąży do V, gdy , tzn. w miarę
upływu czasu ścianka nadaje danej cząstce cieczy prędkość


Przykład 8.7. Należy wykazać występowanie paradoksu Stokesa,
uniemożliwiającego konstruowanie przepływów pełzających w płaskich obszarach
nieograniczonych, rozważając zagadnienie opływu cylindra o promieniu R
jednorodnym strumieniem stacjonarnym cieczy lepkiej (rys. 8.12).

Do rozwiązania zagadnienia użyjemy równania Stokesa ruchu cieczy lepkiej
w układzie współrzędnych cylindrycznych. Wprowadzając funkcję prądu,
spełniającą równanie ciągłości, określoną związkami:

,





Rys. 8.12


możemy zapisać równanie Stokesa w postaci równania biharmonicznego

(8.76)

Do rozwiązania równania (8.76) zastosujemy metodę rozdzielenia zmiennych
przyjmując



Po podstawieniu będziemy mieli:





Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego



ma postać

.


Powrót do funkcji f daje równanie różniczkowe



i następnie otrzymujemy:





Wracając do funkcji prądu i wyrażeń dla składowych wektora prędkości
uzyskujemy:







gdzie wartości stałych całkowania A, B, C są wyznaczane z warunków brzegowych.
W nieskończenie wielkiej odległości od cylindra funkcja prądu powinna być
równa funkcji prądu dla opływu cylindra cieczą doskonałą, co wymaga spełnienia
warunku



Z tego warunku wynika, że powinny znikać stałe A i B oraz należy przyjąć:
C = U. Jedyna pozostała stała D nie może jednak spełniać równocześnie dwóch
warunków znikania na okręgu składowych i wektora prędkości


Przykład 8.8. Kula o promieniu a, umieszczona w nieograniczonej przestrzeni
wypełnionej cieczą lepką , obraca się z prędkością kątową wokół osi z. Zbadać
ruch cieczy wywołany obrotem kuli, jeżeli obrót kuli jest powolny (w małe).
Jako prędkość charakterystyczną ruchu możemy przyjąć prędkość punktów równika
kuli równą wtedy liczba Reynoldsa

.
Ponieważ prędkość kątowa jest mała, więc liczba Reynoldsa też będzie mała. Na
mocy tego założenia w równaniach ruchu, zapisanych w układzie współrzędnych
sferycznych możemy odrzucić ich lewe strony. Tak otrzymane równania ruchu będą
spełnione, jeżeli przyjmiemy, że prędkość będzie zależeć tylko od r i q



i powinna spełniać równanie

(8.77)

Na powierzchni kuli cząstki cieczy powinny poruszać się z tą samą prędkością
liniową jaką mają punkty kuli, stąd mamy warunek graniczny

(8.78)

Na mocy warunku (8.78) będziemy poszukiwać rozwiązania równania (8.77) w
po-staci

(8.79)

Po podstawieniu (8.79) do (8.77) uzyskujemy równanie różniczkowe Eulera



którego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja



Stałe całkowania , wyznaczamy z warunków brzegowych. Otóż, dla powinno być V =
0, stąd Z warunku (8.83) znajdziemy, że więc

.

Obliczymy jeszcze wielkość momentu konieczną do podtrzymania ruchu kuli.
Naprężenia styczne (sił tarcia) na powierzchni kuli:







i moment sił tarcia





Moment potrzebny do utrzymania ruchu jest więc równy:


Przykład 8.9. Dwie okrągłe płaskie równoległe płytki o promieniu R każda,
znajdując się w niewielkiej odległości jedna nad drugą, zbliżają się
jednostajnie do siebie. Określić ruch warstwy cieczy zawartej między płytkami
oraz wyznaczyć siły oporu działające na każdą z płytek.



Rys. 8.13


Wprowadzając założenia upraszczające, analogiczne do założeń przyjętych
w rozdziale 8.6, układ równań (8.38), zapisany (rys. 8.13a) we współrzędnych
walcowych dla składowych wektora prędkości:

,

zredukuje się do postaci:






Ze względności ruchu wynikają warunki brzegowe:

u = w = 0 dla z = 0 ,

u = 0, w = - U dla z = h ,

dla r = R ;

tutaj U jest prędkością górnej płytki (dolną uważamy za nieruchomą), h jest
grubością warstwy
Całkując równanie ruchu względem z (tj. w poprzek warstwy) i uwzględniając
warunki brzegowe znajdziemy:

(8.80)

Po podstawieniu pierwszego z tych równań do drugiego

(8.81)

Zakładając z = 0 w górnej granicy całkowania, po wykonaniu działań otrzymamy

,

a po rozwiązaniu i uwzględnieniu warunku brzegowego znajdziemy

(8.82)

Siła oporu działająca na każdą z płytek równa się

.

Uwzględniając zależność (8.82) we wzorach (8.80) i (8.81) wyznaczamy składowe
ektora prędkości:



.



*

Rozważane zagadnienie można również rozwiązać posługując się układem równań
(8.38), zapisanych w układzie współrzędnych prostokątnych (rys. 8.13b):



dla składowych wektora prędkości:



Warunki brzegowe mają postać:

dla

dla

dla

Całkując równania ruchu względem z i uwzględniając sformułowane warunki
brzegowe znajdziemy:



Po podstawieniu dwóch pierwszych równań do trzeciego mamy



Założenie z = 0 w górnej granicy całkowania prowadzi do równania Poissona dla
ciśnienia

.

Poszukując rozwiązania tego równania w postaci funkcji



po uwzględnieniu warunku brzegowego: dla otrzymamy

,

a następnie wyrażenia dla składowych prędkości:








Przykład 8.10. Dwie płaszczyzny, tworzące ze sobą bardzo mały kąt przesuwają
się względem siebie ze stałą prędkością U (rys. 8.14). Obszar między tymi
płaszczyznami wypełnia ciecz lepka. Należy wyznaczyć ciśnienie i siły
działające na górną płaszczyznę.

Dla stacjonarnego przepływu jednowymiarowego równanie Reynoldsa (8.61)
upraszcza się do postaci








Rys. 8.14


skąd jest



i następnie



Po kolejnym całkowaniu dla warunków brzegowych



i dla grubości filmu olejowego określonego związkiem



otrzymujemy rozkład ciśnienia



oraz nieznany parametr




Znając ciśnienie możemy obliczyć siłę działającą na górną płytkę



gdzie współczynnik siły nośnej jest określony wzorem:



Różniczkując wyrażenie dla składowej prędkości (8.59a) obliczymy jeszcze
na-prężenie styczne



i siłę tarcia działającą na płytkę




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ROZDZ8B (2)
ROZDZ8
rozdz8
Rozdz8
ROZDZ8C
ROZDZ8A
fotogrametria rozdz8 pojęcia
ROZDZ8

więcej podobnych podstron