Wykład XXVI
Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu
Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu
nazywamy równanie postaci:
2 2 2
F(x, y, y , y )= 0,
Równanie to często daje się zapisać w postaci
2 2 2
y = f (x, y, y )
Rozwiązaniem ogólnym (całką) równania różniczkowego jest
caÅ‚ka ogólna y=Õ(x,c1,c2), zależna od dwóch staÅ‚ych c1 i c2.
Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego
uzyskujemy z warunków początkowych, które określają
wartość y i jej pochodnych w punkcie x=x0.
2 2
y = 6x
Przykład 1. Rozwiązać równanie
RozwiÄ…zanie:
Równanie to rozwiążemy dwukrotnie je całkując.
x2
Pierwsza całka: 2
y = + c1 = 3x2 + c1
+"6xdx = 6
2
Druga całka:
x3
y = (3x2 + c1)dx = 3 + c1x + c2 = x3 + c1x + c2
+"
3
Odp. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =6x jest funkcja y=x3+c1x+c2.
Jeśli narzucimy warunek początkowy np., że dla x=1; y=2
oraz y'=1, wówczas wstawiając te warunki do pierwszej
pochodnej i do rozwiązania otrzymamy układ równań:
Å„Å‚1 = 3Å"12 + c1
c = -2
Å„Å‚
Ò! y = x3 - 2x + 3
Ò!
òÅ‚
òÅ‚c1
2
= 3
ół 2
ół2 = 13 + c1 Å"1+ c2
Wykresy rozwiązań szczegółowych:
y = x3 + c1x + c2
Rozwiązanie szczególne
spełniające warunek:
x=1, y=2, y' =1
3
Przykład 2. Rozwiązać równanie
2 2
y = 6x2 + 4
RozwiÄ…zanie:
Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:
x3
2
y = (6x2 + 4)dx = 6 + 4x + c1 = 2x3 + 4x + c1
+"
3
Po drugim całkowaniu otrzymujemy:
x4 x2 x4
y = (2x3 + 4x + c1)dx = 2 + 4 + c1x + c2 = + 2x2 + c1x + c2
+"
4 2 2
Odp. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =6x2+4 jest funkcja y=x4/2+2x2+c1x+c2.
4
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o
współczynnikach stałych
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego o
współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci:
2
d y dy
a + b + cy = f (x), a `" 0
dx
dx2
Równanie to jest liniowe względem y i jej pochodnych.
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
2
d y dy
a + b + cy = 0
dx
dx2
i nazywane jest równaniem jednorodnym. 5
1. Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
2
d y dy
2 2 2
a + b + cy = 0 lub ay + by + cy = 0
(*)
dx
dx2
i nazywane jest równaniem jednorodnym.
Przyjmijmy w równaniu jednorodnym, że
y = erx
2 2
2 y =(rerx)2 = r2erx
oraz
Wówczas y = rerx
Wstawiając funkcję oraz pochodne do równania (*)
otrzymujemy:
ar2erx + brerx + cerx = 0
Dzieląc równanie przez erx otrzymujemy
ar2 + br + c = 0
6
Równanie ar2+br+c=0 nazywamy równaniem
charakterystycznym równania (*).
Rozwiązanie równanie ar2+br+c=0 zależy od znaku
wyróżnika: "=b2-4ac.
Przypadek 1. ">0
Równanie ar2+br+c=0 ma dwa rozwiązania:
- b - " - b + "
r1 = r2 =
2a 2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = c1er1x + c2er2x
7
Przypadek 2. "=0
- b
r =
Równanie ar2+br+c=0 ma jedno rozwiązanie: 1
2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = (c1x + c2)er1x
Przypadek 3. "<0
Równanie ar2+br+c=0 ma dwa pierwiastki zespolone
r1 = Ä… - ²i r2 = Ä… + ²i
gdzie
- b
- "
Ä… = ;
² =
2a
2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = eÄ…x(c1 cos²x + c2 sin ²x)
8
Przykład 3. Rozwiązać równanie 2 2 2
2y - 5y - 3y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne ma postać:
2r2 - 5r - 3 = 0
Ò! " > 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 25 + 24 = 49
- b - " 5 - 7 1
- b + " 5 + 7
r1 = = = - ;
r2 = = = 3
2a 4 2
2a 4
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
1
- x
2
y = c1e + c2e3x
9
Przykład 4. Rozwiązać równanie 2 2 2
y + 2y + y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
r2 + 2r +1 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 4 - 4 = 0
- b - 2
Obliczamy pierwiastek:
r1 = = = -1
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
y = (c1x + c2)e-x
10
Przykład 5. Rozwiązać równanie 2 2 2
y + 2y + 5y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
r2 + 2r + 5 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 4 - 20 = -16
Ò! " < 0
- b - i - " - 2 - 4i
r1 = = = -1- 2i;
Ä… = -1
Å„Å‚
2a 2
Ò!
òÅ‚
² = 2
ół
- b + i - " - 2 + 4i
r2 = = = -1+ 2i;
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
y = eÄ…x(c1 cos²x + c2 sin ²x)
WstawiajÄ…c Ä… i ² dostajemy rozwiÄ…zanie ogólne postaci:
y = e-x(c1 cos 2x + c2 sin 2x)
11
1. Rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Równanie niejednorodne ma postać:
2 2 2
ay + by + cy = f (x); a `" 0, f (x)`" 0
(**)
Rozwiązaniem ogólnym równania (**) jest funkcja
y = y1(x,c1,c2)+ y2(x)
gdzie y1(x,c1,c2) jest rozwiązaniem równania jednorodnego
(*), natomiast y2(x) jest pewnym rozwiązaniem szczególnym
równania (**).
RozwiÄ…zanie y2(x) znajdujemy metodÄ… przewidywania lub
uzmienniania stałej.
12
Przykład 6. Rozwiązać równanie 2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
RozwiÄ…zanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: y''-4y'+4y=0.
Równanie charakterystyczne ma postać:
r2 - 4r + 4 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 16 -16 = 0
- b 4
r1 = = = 2;
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
jednorodnego jest funkcja postaci:
y = (c1x + c2)e2x
Ponieważ f(x) jest funkcją liniową wobec tego
przewidujemy, że y2=ax+b
13
Rozwiązanie y2=ax+b musi spełniać równanie, wobec
czego musimy obliczyć pierwszą i drugą pochodną tego
rozwiÄ…zania.
2 2
y2 = 0
2
y2 = (ax + b)2 = a
2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
Po wstawieniu do równania
otrzymujemy:
0- 4a + 4(ax+b)= 4x
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy:
4ax+4b-4a = 4x
Porównujemy współczynniki, uzyskując układ równań:
a =1
4a = 4
Å„Å‚
Ò!Å„Å‚
òÅ‚
òÅ‚
b =1
4b-4a = 0
ół
ół
14
Przypomnijmy, że rozwiązaniem szczególnym równania
jednorodnego jest funkcja:
y1 = (c1x + c2)e2x
Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego
2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
jest funkcja postaci:
y = y1 + y2 = (c1x + c2)e2x + x +1
15
Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe
2 2
1. y = 2
2 2 2
2. y - 2y = 0
2 2 2
2 2 2 4. y + 2y + y = 0
3. y + y - 2y = 0
2 2 2
5. y + 6y + 9y = 0
2 2 2
6. y + 8y + 25y = 0
2 2 2
8. y - 3y + 2y = 0
2 2
7. y = 6x + 2
2 2 2
10. y - 2y + 3y = x +1
2 2 2
9. y + 2y +10y = 0
2 2 2 2 2 2
11. y + y - 2y = 4x 12. y - 4y + 4y = x2
16


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mat WIP Wykład21
Mat WIP Wykład16
Mat WIP Wyk?22
Mat WIP Wyk?18
Mat WIP Wyk?25
Mat WIP Wyk?20
Mat WIP Wyk?20
Mat WIP Wyk?23
Mat WIP Wyk?19
Mat WIP Wykład17
Mat WIP Wyk?24
Mat 6 Grawitacja dolny
MAT BUD 6
arm mat mult ?st q15?
Mat Bud wyk

więcej podobnych podstron