Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Modele wiązek
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski
Model Erlanga
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 2
Wiązka pełnodostępna (WD)
" Założenia:
o V pojemność wiązki wyrażona w jednostkach alokacji np. w
kanałach lub szczelinach. Każdy kanał jest dostępny dla
nowego zgłoszenia o ile nie jest zajęty;
o Proces napływu zgłoszeń jest procesem Poissona;
o Czas obsługi ma charakter wykładniczy z parametrem 1/ź;
1
o Odrzucane zgłoszenia są tracone
2
m
l
V
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 3
Diagram stanów
l l
l
l
1
i-1
0 V
i
V-1
i+1
m im
(i+1)m
Vm
" stan 0 - wszystkie kanały są wolne,
" stan 1 - jeden kanał jest zajęty, a inne są wolne,
" . . .,
" stan i - i kanałów jest zajętych oraz (V-i) kanałów jest wolnych,
" . . .,
" stan V - wszystkie kanały są zajęte.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 4
Równania równowagi statystycznej
l l
l
l
1
i-1
0 V
i V-1
i+1
m im
(i+1)m
Vm
l[p0] = m[p1]
V V
L
k i
l
[pi-1] = im[pi]
ć l ć l
V V
V
L
m m
Ł ł Ł ł
[pk ] =
l
V
[pV -1] = Vm [pV ]
k! i!
V V i=0
V
[p ] = 1
i
V
i=0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 5
Interpretacja /ź
l 1
= l = l h
m m
h
l/m określa średnią liczbę zgłoszeń napływających w średnim czasie obsługi
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 6
Rozkład Erlanga
(l / m)k V (l / m)i Ak V Ai
[pk ] = = where A = l / m
V
k! i! k! i!
i=0 i=0
a) b) c)
0,6 0,6
0,6
0,5 0,5
0,5
0,4 0,4
0,4
0,3 0,3
0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0
0
0
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
Rozkład zajętych kanałów w WD, pojemność V=5,
ruch oferowany: A=1 Erl. (a); A=3 Erl. (b); A=8 Erl. (c).
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 7
Wzór Erlanga
AV
V!
E1,N (A) = [pV ] =
V
V
Ai
i!
i=0
Prawdopodobieństwo blokady = f ( ruch oferowany, pojemość)
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 8
Właściwości rekurencyjne wzoru Erlanga
AE1,N -1(A)
E1,N (A) =
N + AE1,N -1(A)
A0 A0
E1,0(A) = =1
0! 0!
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 9
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Średnia wartość ruchu załatwianego (średnia liczba
równocześnie zajętych kanałów)
V
YV =
k[p ] = A[1- E1,V(A)]
k
V
k =0
" Wariancja ruchu załatwianego
V
2 2
s = ( k [pk ] -YV2) = YV - AE1,V (A) (V -YV )
V
V
k =0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 10
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Wariancja ruchu załatwianego
-1
V V
2
A
k Ak [(k -1) +1] (kAk
V
k! -1)!
2 2
k =0 k =0
sV = ( -YV2 = -YV2 =
k [pk ] -YV2) =
V
V V
Ak Ak
k =0
k! k!
k =0 k =0
V N
Ak -1 Ak -2
A[ + A ]
(k -1)! (k - 2)!
k =1 k =2
= -YV2.
V
Ak
k!
k =0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 11
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Wariancja ruchu załatwianego
o Biorąc pod uwagę:
V
V
Ak -1
Ak -2
(k -1)! N
(k - 2)!
k =1
k =2
=1- E1,V (A),
=1- E1,V (A) - E1,V (A)
V
V
Ak
Ak A
k!
k!
k =0
k =0
o otrzymujemy:
2
s = YV - AE1,V (A) (V -YV )
V
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 12
Charakterystyki ruchu obsłużonego
" Uwaga !
o Wariancja ruchu oferowanego
jest równa
o Średniemu ruchowi oferowanemu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 13
Tabela Erlanga
" Dwa sposoby organizacji tablic Erlanga stosowanych w
praktyce inżynierskiej:
o
o N A1 A2 A3 N N B1 B2 B3 N
o 1 B11 B21 B31 1 1 A11 A21 A31 1
o 2 B12 B22 B32 2 2 A12 A22 A32 2
o 3 B13 B23 B33 3 3 A13 A23 A33 3
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 14
Tabela Erlanga
Pojemność V Prawdopodobieństwo blokady B
E=0.02 E=0.01 E=0.005 E=0.001
Natężenie ruchu oferowanego A
1 0.02 0.01 0.005 0.001
5 1.70 1.40 1.10 0.80
10 5.10 4.50 4.00 3.10
15 9.00 8.10 7.38 6.08
20 13.20 12.00 11.10 9.41
25 17.50 16.10 15.00 13.00
30 21.90 20.30 19.00 16.70
35 26.40 24.60 23.20 20.50
40 31.00 29.00 27.40 24.40
45 35.60 33.40 31.70 28.40
50 40.30 37.90 36.00 32.50
60 49.60 46.90 44.80 40.80
70 59.1 56.1 53.70 49.20
80 68.70 65.40 62.70 57.80
90 78.30 74.70 71.80 66.50
100 88.00 84.10 80.90 75.20
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 15
Prawo wiązki
dwie wiązki połączona wiązka
A1 + A2
A1
A2
V1 + V2
V1
V2
EV +V2 (A1 + A2) < max[EV (A1), EV (A2)]
1 1 2
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 16
Prawo wiązki - przykład
wiązka 1 wiązka 2
= = = =
A 5,1 Erl. V 10 A 12,0 Erl. V 20
, ,
1 1 2 1
= =
E ( A ) 0,02 E ( A ) 0,01
V 1 V 2 2
1
wiązka połączona
+ =
E ( + ( A A ) 0,001
V V 2 ) 1 2
1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 17
Rozkład Poissona
" Graniczny przypadek rozkładu Erlanga
" Liczba kanałów jest nieskończona, a więc w systemie
nie występuje blokada
V Ą
k i k
V
(A)
A
[pk] = lim /
(A!) = (A) e-
V
V Ą
k! i k!
i=0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 18
Rozkład Poissona
" Aproksymacja prawdopodobieństwa blokady
o Jeśli liczba stanowisk obsługi jest równa V, to
prawdopodobieństwo blokady można aproksymować
modelem Poissona:
i i
Ą Ą
(A) (A)
E = e- A = e- A =
i! i!
i=V i=V
i
V -1
ł
(A)
= e- A ę1-
ś
i!
i=0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 19
Ruch obsłużony losowy wybór kanałów
" Ruch obsłużony przez V kanałów:
YV = A [1- EV (A)]
" Ruch obsłużony przez każdy kanał:
h = YV /V = A[1- EV(A)]/ V
" dla V=10, A=10 Erl.:
h = YV /V = 10 [1- E10(10 )]/ 10 = 0.79 Erl.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 20
Ruch obsłużony losowy wybór kanałów
1
Obciążenie
0,9
wiązka: A=10 Erl., V=10
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Liczba kanałów
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 21
Ruch obsłużony
kolejnościowy wybór kanałów
" Ruch obsłużony przez i kanałów:
Yi = A [1- Ei (A)]
" Ruch obsłużony przez i-1 kanałów:
Yi-1 = A[1- Ei-1(A)]
" Ruch obsłużony przez kanał i:
hi = Yi -Yi-1 = A [1- Ei(A)] - A [1- Ei-1(A)] =
= A[Ei-1(A) - Ei(A)]
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 22
Ruch obsłużony
kolejnościowy wybór kanałów
1
wiązka: A=10 Erl., V=10
Obciążenie
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Liczba kanałów
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 23
Wzór Palma Jacobaeusa
" Wzór definiuje prawdopodobieństwo zajętości
dokładnie x kanałów (stanowisk obsługi)
V
E (A)
V
H (x) = P(x i) [pi] =
V
E (A)
i=x
V -x
Warunkowy prawdopodobieństwo zajętości Prawdopodobieństwo
dokładnie x ściśle określonych kanałów przy zajętości dowolnych i
założeniu, że i kanałów jest zajętych: kanałów
i k
V
V - x V
ć ć
(V - x)! i!
A A
P(x | i) = =
[pi] =
V
i - x i V! (i - x)!
i! k!
Ł ł Ł ł
k =0
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 24
Model Engseta
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 25
Wiązka pełnodostępna model Engseta
" Założenia:
o V pojemność wiązki wyrażona w jednostkach alokacji (np. w
kanałach). Każdy spośród nich jest dostępny jeśli nie jest zajęty;
o Napływające zgłoszenia tworzą strumień generowany przez
skończoną liczbę zródeł ruchu N (N>V). Każde wolne zródło
generuje zgłoszenia z intensywnością ł;
o Czas obsługi ma rozkład wykładniczy z parametrem 1/ź;
o Odrzucone zgłoszenia są tracone
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 26
Diagram stanów
( N -i+1) g ( N -i) g ( N -V+1) g
N g
1
i-1
0 V
i V-1
i+1
m i m
( i+1) m
Vm
" stan 0 - wszystkie kanały są wolne, N zródeł jest wolnych
" stan 1 - jeden kanał jest zajęty, (N-1) zródeł jest wolnych,
" . . .,
" stan i - i kanałów jest zajętych i (N-i) zródeł jest wolnych,
" . . .,
" stan V - wszystkie kanały są zajęte (V-N) zródeł jest wolnych
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 27
Równania równowagi statystycznej
( N -i+1) g ( N -i) g ( N -V+1) g
N g
1 i-1
0 i V-1
V
i+1
m i m
( i+1) m
Vm
Ng [p0] = m[p1]
V
V
L
(N - i +1)g
[pi-1] = im [pi]
V
V
V
N N
ć ć
i j
[pi] =
L
V j
a j=0 a
i
Ł ł Ł ł
(N -V +1)g
[pV -1] = Vm[pV ]
V V
V
[p ] =1
i
V ruch oferowany
a = g / m
i=0
przez jedno wolne zródło
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 28
Prawdopodobieństwo blokady/strat
" Prawdopodobieństwo blokady
V
N N
ć
V j
[pV ] = E = E(a,V , N) =
V ć
V a / j=0 j
a
Ł ł Ł ł
" Prawdopodobieństwo strat
V
N -1 N -1
ć ć
(N -V )g [pV ]
V j
V
B(g ,V , N) = =
j
V
a / j=0 a
V
Ł ł Ł ł
[pj]
(N - j)g V
j=0
B(a,V, N) = E(a,V, N -1)
o Prawdopodobieństwo strat w wiązce której oferowany jest ruch
pochodzący od N zródeł ruchu jest równe prawdopodobieństwu
blokady w wiązce której oferowany jest ruch pochodzących od N-
1 zródeł ruchu
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 29
Właściwości rekurencyjne wzoru Engseta
a(N -V +1) E(a,V -1, N)
E(a,V , N) =
V +a(N -V +1) E(a,V -1, N)
E(a,0, N) =1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 30
Wzór Engseta inna notacja
" Prawdopodobieństwo blokady:
V j
V
N -1 N -1
ć ć
a a
ć ć
B(a,V , N) = /
V j
Ł1- a ł Ł1- a ł
j=0
Ł ł Ł ł
a (1/ m)
(1/ m)
(1/ g )
a = =
1+a (1/ g )+ (1/ m)
" Parametr a wyraża stosunek średniego czasu zajętości zródła do sumy
średniego czasu aktywności zródła i średniego czasu pomiędzy
zgłoszeniami. Z tego względu, parametr a może być interpretowany jako
średni ruch oferowany przez jedno zródło
" Parametr a jest średnim ruchem oferowanym przez jedno wolne zródło.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 31
Model Engseta ruch obsłużony
" Średnia wartość ruchu obsłużonego jest równa średniej
liczbie jednocześnie zajętych kanałów:
V
g [1- B(a,V ,
Y =
i [Pi] = N 1+ g [1- B(a,VN)] = N y
V
, N)]
i=1
o gdzie y jest ruchem przeniesionym przez jedno zródło
g [1- B(a,V , N)]
y =
1+ g [1- B(a,V , N)]
" Można udowodnić, że:
a
Y = [N - (N -V )E(a,V , N)]
1+a
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 32
Model Engseta ruch obsłużony
" Średnia wartość ruchu oferowanego jest równa średniej
liczbie zajętych kanałów w wiązce o pojemności N
kanałów (system bez start):
V
a
A = YN =
i [Pi] = N 1+a = Na
V
i=1
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 33
Model Engseta wariancja
" Wariancja rozkładu Engseta
V
ć A
2 2 2
s = =
k [pk ] -Y N (N - A)
V
Ł k =0 ł
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 34
Model Engseta ruch tracony
" Natężenie ruchu traconego:
a
R = A -Y = (N -V ) E(a,V , N)
1+a
" Prawdopodobieństwo utraty ruch (traffic congestion )
związek pomiędzy ruchem oferowanym i traconym:
R N -V
C(a,V , N) = = E(a,V , N)
A N
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 35
Model Engseta
paradoks strumienia zgłoszeń
" Parametry strumienia uśrednione po wszystkich stanach
(wyrażają średnią liczbę zgłoszeń na średni czas
obsługi, tzn. średnia intensywność strumienia zgłoszeń)
V
L =
g (N - i) [Pi] = g (N -Y )
V
i=1
" Średnia intensywność strumienia wynikająca z
oszacowania ruchu oferowanego:
g
LA = Am = N
LA ą L
1+a
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 36
Model Engseta
paradoks strumienia zgłoszeń
g
D = L - LA = [Na -Y (1+a]
1+a
aN N -V
D = g E(a,V , N)ł = g A C
ę ś
1+a N
" Iloczyn AC określa natężenie ruchu traconego, czyli średnią liczbę wolnych
zródeł ruchu. Parametr g jest intensywnością strumienia ruchu jednego zródła.
Jeśli założymy, że każde zablokowane zródło w czasie równym średniemu
czasowi obsługi I/m nie jest aktywne, to "=0 oraz LA=L.
" Parametr L określa średnią intensywność strumienia zgłoszeń przy założeniu, że
każde zagubione zgłoszenie (w wyniku blokady) natychmiast powoduje
zwolnienie zródła ruchu przez czas równy założonemu czasowi obsługi.
" Parametr LA określa średnią intensywność strumienia zgłoszeń przy założeniu, że
każde stracone zgłoszenie (w wyniku blokady) natychmiast powoduje
zablokowanie zródła, które je wygenerowało przez czas równy założonemu
czasowi obsługi.
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 37
Wzór Palma Jacobaeusa dla Engseta
" Wzór definiuje prawdopodobieństwo zajętości
dokładnie x jednostek alokacji (kanałów)
V
E(a,V , N)
H(x) = P(x i) [pi] =
V
E(a,V - x, N)
i=x
Warunkowe prawdopodobieństwo
Rozkład zajętości i kanałów
zajętości dokładnie x kanałów, przy
założeniu że zajętych jest i kanałów
V
V - x V
N N
ć ć
(V - x)! i! ć
i j
P(x | i) = =
/
[pi] =
V ć
a / j=0 j
a
i - x i V! (i - x)!
i
Ł ł Ł ł
Ł ł Ł ł
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 38
Modele Erlanga iEngseta
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 39
Modele Erlanga i Engseta
" Wzór Engseta jest uogólnieniem wzoru Erlanga
wówczas gdy liczba zródeł ruchu dąży do
nieskończoności N, a parametr ł został zmniejszony w
taki sposób, że iloczyn N ł nie zmienia się.
lim Ng = l
N Ą
i i i
N
ć ć ć ć
g N(N -1)K(N - i +1) g 1 l
lim = lim =
N Ą N Ą
i m i! m i! m
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
i j
ć l
i j l ć
V
N N
ć ć ć
g
V
[pi] = /
m m
V j ć g N Ą Ł ł
[pi] = /
i m m
j=0 Ł j!ł
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł V
i!
j=0
rozkład Engseta rozkład Erlanga
Wymiarowanie łączy w sieciach telekomunikacyjnych 40
Wymiarowanie łączy w sieciach
telekomunikacyjnych
Modele wiązek
Maciej Stasiak, Mariusz Głąbowski
Arkadiusz Wiśniewski, Piotr Zwierzykowski
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad 03Lipidy cz I Wykład z 7 03 2007Wykład 3 5 03 2013Drogi i ulice wyklad 03Wykład 03 The?st SDH Projectwyklad 2 liniowe modele?cyzyjneTI Wykład 032 wyklad 03 04 2008wyklad 03 (2)Wyklad 6 profilaktyka modelefizjologia zwierzat wyklad 03Wyklad 03Wykład 03 (część 08) twierdzenie o wzajemności prac i z niego wynikająceWykład 9 Wybrane modele stochastyczne procesów eksploatacjiwyklad 03więcej podobnych podstron