MPiS cw 05 dwie zmienne losowe

Maciej Sac 2015-04-21
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 5. Charakterystyki pary zmiennych losowych
Zagadnienia: charakterystyki dwóch powiązanych ze sobą zmiennych losowych
Rozkład łączny
( )
Dystrybuanta łączna: 5�9�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = 5�C�(5�K� < 5�e�, 5�L� < 5�f�)
- niemalejąca względem x i y,
( )
- 5�9�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = 0 dla 5�e� = -" lub 5�f� = -",
( )
- 5�9�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = 1 dla 5�e� = 5�f� = ".
Aączny rozkład prawdopodobieństwa (zmienne losowe dyskretne):
( )
5��25�9�5�K� 5�L� 5�e�,5�f�
( )
Aączny rozkład gęstości prawdopodobieństwa (zmienne losowe ciągłe): 5�]�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� =
5��5�e�5��5�f�
Warunek normalizacyjny:
Związek pomiędzy dystrybuantą a rozkładem / gęstością prawdopodobieństwa:
( ) "5�e�5�V�<5�e� "5�f�5�W�<5�f�
5�9�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = 5�C�(5�K� = 5�e�5�V�, 5�L� = 5�f�5�W�)
Rozkłady brzegowe
Rozkłady wybranej zmiennej losowej (X, Y):
Dystrybuanta brzegowa:
Dla niezależnych X i Y:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5�9�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� a" 5�9�5�K� 5�e� " 5�9�5�L� 5�f� , 5�]�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� a" 5�]�5�K� 5�e� " 5�]�5�L� 5�f� ,
5�C�(5�K� = 5�e�5�V�, 5�L� = 5�f�5�W�) a" 5�C�(5�K� = 5�e�5�V�) " 5�C�(5�L� = 5�f�5�W�)
�"5�V�,5�W�
Rozkłady warunkowe
( )
5�9�5�K� 5�L� 5�e�,5�f�
Dystrybuanta warunkowa: 5�9�5�L�|5�K�(5�f�|5�K� = 5�e�) =
( )
5�9�5�K� 5�e�
( )
5�C�(5�K�=5�e�5�V�,5�L�=5�f�5�W�) 5�]�5�K� 5�L� 5�e�,5�f�
Rozkłady warunkowe: 5�C�(5�L� = 5�f�5�W�| 5�K� = 5�e�5�V�) = 5�]�5�L�|5�K�(5�f�|5�K� = 5�e�) =
( )
5�C�(5�K�=5�e�5�V�) 5�]�5�K� 5�e�
Maciej Sac 2015-04-21
Zad. 1. Aączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych dany jest tabelą
Y X 2 4 6
1 0.05 0.1 0.2
3 0.2 0.1 0.1
5 0.05 0.05 0.15
a) Sprawdz warunek normalizacyjny dla rozkładu łącznego.
b) Oblicz 5�C�(2 d" 5�K� d" 4, 1 d" 5�L� d" 3).
c) Oblicz 5�9�5�K� 5�L�(4, 4).
d) Oblicz rozkłady brzegowe.
e) Oblicz rozkłady warunkowe.
f) Sprawdz czy X i Y są niezależne statystycznie.
Zad. 2. W kanale komunikacyjnym jak na rysunku zmienna losowa X reprezentuje nadawane bity,
natomiast zmienna losowa Y reprezentuje odbierane bity. Nadanie bitu 1 jest tak samo
prawdopodobne jak nadanie bitu 0.
a) Oblicz rozkład łączny zmiennych losowych (X, Y).
b) Oblicz rozkłady brzegowe.
c) Sprawdz czy X i Y są niezależne statystycznie.
d) Oblicz prawdopodobieństwo, że nadano bit 0 pod warunkiem, że odbiornik zarejestrował 0.
Zad. 3. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych
5�6�5�e�5�f� dla 0 < 5�e� < 5�N�, 0 < 5�f� < 5�O�
( )
5�]�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = { .
0 dla pozostałych 5�e�, 5�f�
a) Oblicz stałą C.
b) Oblicz rozkłady brzegowe.
c) Sprawdz czy X i Y są niezależne statystycznie.
d) Oblicz rozkłady warunkowe.
e) Oblicz dystrybuantę łączną.
Skomentuj wyniki.
Zad. 4. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe
liczbie wylosowanych asów, a Y liczbie wylosowanych pików. Wyznacz rozkład
prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennych losowych (X, Y).
Zad. 5. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych X i Y:
(5�e� + 5�f�)/8 dla 0 < 5�e� < 2, 0 < 5�f� < 2
1
( )
5�]�5�K� 5�L� 5�e�, 5�f� = { . Oblicz 5�C�(0 < 5�L� < , |5�K� = 1).
2
0 dla pozostałych 5�e�, 5�f�
Materiały zródłowe:
1. J. Konorski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna , materiały do
wykładu, WETI PG, Gdańsk, 2014.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska, Probabilistyka stosowana , Wydawnictwo PG, 2004.
3. B. Czaplewski, notatki.
4. W. Krysicki i in., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach.
Część 1 , Wydanie VII, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MPiS cw zmienne losowe
Przekształcenia ciągłe zmiennej losowej
MPiS30 W05d Zmienne losowe II
PiS15 W03 Zmienne losowe II 12
zmienne losowe22 09 A
3 Zmienne losowe i ich rozkłady
rozklad zmiennej losowe metodologia wyk2
Rozklad zmiennej losowej zadania
PiS15 W02k Zmienne losowe I
MPiS cw operator uśredniania
SM15 W02k Zmienne losowe I
Dwie zmienne szac par
Parametry zmiennej losowej
PiS15 W02d Zmienne losowe I
zmienne losowe
PiS15 W03k Zmienne losowe II
jurlewicz,probabilistyka, parametry zmiennej losowej

więcej podobnych podstron