3582277861

Kolegium Nauczycielskie w Bielsku Białej Egzamin ustny ze wstępu do analizy matematycznej dla studentów I roku kierunku matematyki na studiach dziennych

1. Odwzorowania i ich podstawowe własności - monotoniczność, ograniczoność, iniektywność, suriektywność, bijektywność, parzystość, nieparzystość, okresowość. Składanie, odwracanie, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności.

2. Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomat ciągłości.

3. Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.

4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności i rozbieżności ciągu. Przykłady.

5. Granica ciągu a struktura algebraiczna i porządkowa zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Twierdzenia o związkach nierówności pomiędzy wyrazami a granicami ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.

6. Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R

7. Zbieżność i zbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Przykłady.

8. Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych.

9. Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zero-jedynkowa, euklidesowa w R^n. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte.

10. Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, w R^An. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.

11. Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością.

12. Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych - definicje Heinego

i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i nie mających granic w punkcie.

13. Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach;

0 sumie, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Przykłady.

14. Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady.

15. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.

16. Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.

17. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.

18. Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora

1 jego zastosowania.

19. Ekstrema lokalne funkcji, punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady.

20. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej.