3582320324
Wykład 15 22 stycznia 2013
1 Zasadnicze Twierdzenie Algebry
Podczas wykładu, w jego pierwszej części, kontynuuowałem rozpoczęty tydzień wcześniej dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry.
Twierdzenie 1.1 Ciało liczb zespolonych jest algebraicznie zamknięte.
2. Dalsza część dowodu przez indukcję. Niech v € R[x], dv = d = 2”m, gdzie m jest liczbą nieparzystą (łatwo zaobserwować, że każdą liczbę naturalną d różną od zera można zapisać w tej postaci). Indukcję poprowadzimy za względu na n.
Jeśli n = 0, wówczas v jest stopnia nieparzystego - wiemy zaś, że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych i stopnia nieparzystego ma pierwiastek rzeczywisty.
Przypuśćmy więc, że n > 1 i niech będą pierwiastkami wielomianu v
w jego ciele rozkładu1. Naszym zadaniem będzie wykazanie, że pierwiastki te należą do zbioru liczb zespolonych C.
Mamy w tej sytuacji równość u(x) = o(x — ui) •... • (x — uj) gdzie a € R. Na mocy twierdzenia ?? o wzorach Viety,
v(x) = axd - aSi(ui,...,u<j)xrf~1 +... + (—l)daSd(v,i,...,Ud)
i 5*,(«i,...,u,*) € R dla każdego k = 1 ,...,<£
Dla dowolnego h € Z zdefiniujmy wielomian
Vfc(x,xit ...,xrf) = JJ (x - Xi - xi - hxix3-)
Oczywiście Vh € R[x,xi,...,x<*] = R[x][xi,...,x^]. Co więcej, dla ustalonego h € Z wielomian jest wielomianem symetrycznym ze względu na zmienne wielomianowe xi,...,Xd. A więc, na mocy Zasadniczego Twierdzenia o Wielomianach Symetrycznych, Vh jest wielomianem Si(xi,...,Xd),...,S<*(xi,...,x<*) o współczynnikach w R[x]. Skoro 5i(ui,...,ud)>— »fid(ui,...,«<() € R także wielomian v/i(x,ui, ...,«<*) (a więc wielomian zmiennej x) ma współczynniki w R (dla
łTu właśnie korzystamy z Twierdzenia o Ciele Rozkładu.
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Image051 V Zestawienie zasadniczych twierdzeń algebry Boole’a Tablica 3.1 1 a A
Treść kursu: Liczby zespolone. Wielomiany. Zasadnicze twierdzenie algebry. Funkcje wymierne. Ułamki
16 ZBIGNIEW BLOCKI Z twierdzenia Liouville’a w łatwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. B
5 (303) GRUPA A 22 stycznia 2002 Studia dzienne EGZAMIN ZEROWY Algebra liniowa z geometrią Zadaniel
KOLOKWIUM z Automatyki i Robotyki wykład godz. 9.15 - 27 stycznia 20091. Czy PED z
22 stycznia (środa) Godzina 19.00 Sala wykładowa nr l ISPE Temat spotkania: "Co się dzieje
RYKSA; WIERZCHOSŁAWA. IV. 14. 15. 22 6 się tam nie powtarza1), przeto trzeba wspomnianej w dokumenci
RYKSA; WIERZCHOSŁAWA. IV. 14. 15. 22 6 się tam nie powtarza1), przeto trzeba wspomnianej w dokumenci
s10 (15) 22 gazowy (6 mm) Cr©*- 5,6 FN „Modeli mat eh" mon Mod. 38 (USA)
16 Picmcntcl/Problcmy Ekorozwoju/Problcms of Sustainablc Deyelopment 2/2012,15-22 Argumenty
17 Picmcntcl/Problcmy Ekorozwoju/Problcms of Sustainablc Dcvclopmcnt 2/2012,15-22 of 9,500 kg/ha (15
Picmcntcl/Problemy Ekorozwoju/Problcms of Sustainable Dcvclopmcnt 2/2012,15-22 Table 3. Inputs per 1
19 Picmcntcl/Problcmy Ekorozwoju/Problcms of Sustainablc Deyelopment 2/2012,15-22 the subsidy per li
20 Picmcntcl/Problcmy Ekorozwoju/Problcms of Sustainablc Deyelopment 2/2012,15-22 is significantly
więcej podobnych podstron