3582334063
2
2 PIERŚCIENIE GŁÓWNE
2 Pierścienie główne
Mówimy, że ciąg ideałów (/„) pierścienia P jest wstępąjący jeżeli
IiC I2C ... C /* C ...
Dla dowolnego dągu wstępującego ideałów (/„) także ich mnogościowa suma U," ' A» jest ideałem. Rzeczywiście, jeśli a.b € /. wówczas istnieją i.j € N takie, że a € fi, b € />. Bez straty pgólnoći można założyć, że i <j. Wówczas a.b € /j i a - b ę l3 a stad oczywiście wynika, że a - b € /. Dla dowolnego a € P (i przy założeniu, że jak poprzednio, a € A) € A a więc aa € /.
Twierdzenie 2.1 W pierścieniu głównym P kaziły wstępujący ciąg ideałów h Che ...C/fcC... jiesf stacjonarny, tzn. istnieje ką € N takie, że
ho = Ato+1 = •••
Największym wspólnym dzielnikiem elementów' a i b pierścienia całkowitego P nazywamy element d € P spełniający warunek:
d|a, d\b oraz dla każdego c € P : c|a,c|6 => c\d
Największy wspólny dzielnik elementów a i 6 oznaczamy przez N\VD(«. b) lub przez (a.fc).
Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem elementów a i 6 jest jedynki pierścienia (inaczej: jeżeli {a.b) = 1), wówczas mówimy, że a i b są względnie pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i 6 są 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a więc, elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a. 6) = 1 często piszemy alb.
W pierścieniach głównych największy wspólny dzielnik dwóch elementów zawsze istnieje i można go zapisać w specjalnej postaci. Twierdzenie które o tym mówi nazwiemy twierdzeniem o NWD w pierścieniu głównym.
Twierdzenie 2.2 Każde dwa elementy a.b pierścienia głównego P mają największy wspólny dzielnik d € P który jest ich kombinacją liniową, tzn. istnieją s.t ęP takie, że
d = sa + tb
Dowód. ...
Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem elementów a i 6 jest jedynka pierścienia (inaczej: jeżeli (a.b) 1). wówczas mówimy, że a i b są względnie
pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i 6 są 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a więc. elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a. b) = 1 często piszemy a 16 (podobnie jak to robiliśmy dla liczb całkowitych).
Wniosek 2.3 W dowolnym pierścieniu całkowitym i głównym
(a. 6) = 1 <=> 3a. 3 € P : aa + 3b = 1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ARKUSZ XV 7 Arkusz XV Zadani 32. 3 p. Wiadomo, że ciąg (a„) nsN+ jest malejący. Uz
2.2. Aproksymacja Definicja 6. Mówimy, że ciąg funkcji {wn}“_j C La/(fi, IRiV) zbiega w modularze do
16 SPIS TREŚCI Przykład, 0.3.4 Zbadamy zbieżność szeregu Pokażemy, że ciąg e„ jest
RP2 2 10. Sprawdzić, że ciąg a„ = 1/n - 1/ n+1 określa rozkład prawdopodobieństwa
Temat 8. »Rodzaje ZBIEŻNOŚCI FUNKCJI« Opis* Wiemy mniej więcej, co to znaczy, że ciąg funkcji /„ jes
ARKUSZ XXVIII 8 Poziom podstawowyZadanie 32. Dane są ciągi a„ =2n,bn = (-1)". Ciąg (c„) dany je
5 (835) Wstęp Układy zdalnego sterowania silnikami napędu głównego statków ze śrubą stałą stanowią f
012 8 Jeśli ciąg sum częściowych szeregu geometrycznego nie ma granicy właściwej, to mówimy, że szer
MT86 03b nio dobrane przełożenia reduktora i przekładni głównej sprawiały, że PZInż. 222 mógł
DSC00220 (16) Pr&hięg £&?£Si6& Główne niebezpieczeństwo ze strony nicienia Heterakts gal
Zdjęcie179 wiuij aa i TYPOWA SKALA ZBIORNIKOWA Piofil seclymeiitolocjiczsiy utwoiow tłolomiiu główne
10 Ideały i ich własności Przykład 2.1.4. Pierścień Z jest dziedziną ideałów głównych. Z jednej stro
więcej podobnych podstron