3582445223
C. ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI
W ćwiczeniu 2 i przykładzie 7 rozłożyliśmy wielomiany na czynniki:
Określenie 13. Rozłożyć wielomian na czynniki, to znaczy przedstawić go jako iloczyn wielomianów stopnia różnego od zera.
Wiemy, że nie każdy trójmian kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki liniowe o współczynnikach rzeczywistych (ćwicz. 2c).
W ćwiczeniu 3 wielomian trzeciego stopnia jest rozłożony na czynniki liniowe (ćwicz. 3a, b, c) lub przedstawiony jako iloczyn czynników pierwszego i drugiego stopnia (ćwicz. 3d). Nie wiemy, czy każdy wielomian trzeciego stopnia daje się rozłożyć na czynniki. Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie ogólne, które przyjmujemy bez dowodu:
Twierdzenie 23. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych.
To nie znaczy oczywiście, że dokonanie takiego rozkładu jest łatwe. Z tw. Bezout wynika, że jeżeli znamy pierwiastek wielomianu, to potrafimy ten wielomian rozłożyć na czynniki.
Wiemy, że każdą liczbę całkowitą złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze tylko w jeden sposób (ćwicz. 4). W ćwiczeniu 5 rozłożyliśmy trójmian 6x2 + x — 2 na czynniki trzema sposobami, ale widzimy, że odpowiednie dwumiany różnią się od siebie tylko czynnikiem stałym.
x_ł = ł(2x—1) i 0,4x—0,2 = ^(2x — 1);
6x + 4 = 2(3x + 2) i 15x +10 = 5(3x+2).
Przyjmujemy, że dwa rozkłady wielomianu, w których odpowiednie czynniki różnią się tylko czynnikiem stałym, uważamy za ten sam rozkład. Przy tej umowie prawdziwe jest:
Twierdzenie 24. Rozkład wielomianu niezerowego o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych jest jednoznaczny.
D. WYMIERNE PIERWIASTKI WIELOMIANU O WSPÓŁCZYNNIKACH CAŁKOWITYCH
Twierdzenie 25. Jeżeli wielomian W{x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego to
licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.
Założenie:
W(x) = a0 + axx+... + a„xn, gdzie a0,alt....aneC i an ^ 0, w(^j = 0 i p,qeC i (p,q)= 1.
Teza:
V a0 = p’l i V an = k-q.
leC keC
. Dowód: Z założenia
a°+a10+...+a^) =0.
Mnożymy obie strony tej równości przez qn:
(1) a0qn + a1pqn~1 + ... +a„pn = 0.
Stąd
W" = -P(a ... +a„Pn~1)-
Liczba w nawiasie jest liczbą całkowitą jako suma iloczynów liczb całkowitych. Prawa strona ostatniej równości jest podzielna przez p, więc i jej lewa strona jest podzielna przez p. Ponieważ liczby p i q nie mają wspólnych dzielników, więc liczby p i qn nie mają wspólnych dzielników. Zatem p dzieli a0. Z równości (1) otrzymujemy również
a„pn= -q{a0qn~1+ ... +a„_1p"-1).
Rozumując tak jak wyżej dochodzimy do wniosku, że q dzieli an.
Wniosek 1. Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.
Wniosek 2. Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych, w którym an — 1 ma pierwiastki wymierne, to są one liczbami całkowitymi.
89
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matma2 Przykład 6 Wyznacz pierwiastki wielomianu w(x) = x3 — £2 — 9x + 9. Rozkładamy wielomian na cz
041 2 Równania i nierówności wielomianowe Metody rozkładu wielomianu na czynniki: 1)
84 (60) Wielomiany I funkcje wymierne3.6.5. Metody rozkładu wielomianów na czynniki a)
METODY ROZKŁADU WIELOMIANU NA CZYNNIKI: I.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias: a)
dydaktyka konspekt cz5 czynników ~ ---—- Jako przykład weźm
59 (165) 3. Ćwiczenia iv rozkładaniu liczby 6 na dwa składniki (na kolorowych
023(1) 1) Rozkładamy mianownik na czynniki i dzielimy licznik i mianownik uła
088 (5) [Równania trygonometryczneRozwiązanie: Przenosimy 3 na lewą stronę i rozkładamy wyrażenie na
jedynkowy, dwumianowy Bernoulliego, Poissona. Rozkład wielomianowy, c) Ciągłe rozkłady
20687 Str025 (2) 46 I. Kilku zngflfthlpń cienieni nruej toorii llcfti Przykłady 1.
temat lab1 po 2.* Zakodować algorytm lu decomp rozwiązujący problem abstrakcyjny rozkładu macierzy a
PRZYKŁAD 2 Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuum) funkcję operatorową z poprzedniego
7. ROZKŁADANIE LICZB NA CZYNNIKI PIERWSZE. NWW. NWD Dzielnik (podzielnik) liczby całkowitej: (1)
PRZYKŁAD 2 Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuum) funkcję operatorową z poprzedniego
Rozkład jednostajny na odcinku 0,1 — przykład obliczeń Czas oczekiwania na autobus- zmienna losowa
image 11 48)Średnią arytmetyczną obliczamy dla rozkładów: a) wielomodalnych (W^krajnie
więcej podobnych podstron