Oblicz całkę:

/

2x — 5 2x² + x + 2

dx

Rozwiązanie:

Pochodna mianownika: (2x² + x + 2)' = 4x + 1

/

2x — 5 2x² + x + 2

dx

/

2a:² + a; + 2    J 2x² + x + 2

= [ -Ł ./ 2a:^:

2a:² + a: + 2 = /i + I₂ = (*)

da: +

/

2x² + a: + 2

n

—-dx —

Na podstawie /    ^;da; = ln |/(x)| + C

J f(x)

/(*)

,    [ 5(42 + !) _J 1 f

^h = l W ₊ x ₊ l^dX=2j

4x + 1 2./ 2a;² + a; + 2

dx = | ln |2a:² + a: + 2| + Ci

= /

n

² da:

2a:² + a: + 2

11 1

"T ‘ 2

-t/

dx

2{x² + \x + 1)

f    dx    ;§>    11 f dx

a:² + 2.ia: ₊ i + i " "T J (a:+I)² + I§ ⁼

u r    dx    u K5⁴ r    dx

~ ⁴ J ii [(* + i)7łf +1]

44 r

" ^-15 J

0+1)/#) +1

0+ *)/#))

Załkowanie przez podstawianie

2-= (**)

+ 1

x +

/•#

y/15

4

d /d

^ dt dx

^Ą^-dt = da;

*ś-‘ Z"¹

(**)

44

15

/

it² + 1

44¹¹ yi5 r dt » llv^/15

J t²+ 1    15

15

arctg t + C’2

llv/l5 a; + 4 4    _

^5^_arcts^a"i^+ft

llv/l5 4a: + 1    _

■ arctg —;=- + 62

15

VT5

(*) = - ln |2x² + x + 2| + Ci

llv/l5

15

arctg

4a; + 1

\/l5

+ C2 —

= - ln |2a:² + x + 2\

llv/l5

15

arctg •

4a; + 1 1/T5

+ C

Odp

I

2x -5    ,    1,    ₂    11VT5    4a:+ 1    ^

—₇.-dx ■ - ln 2ar + x + 2\--arctg —-=—|- C

2x²+x + 2    2    ^1    1    15 ^S yi5

15