Wykład 02
Witold Obłoza
24 listopada 2010
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciÄ…gach )
Jeżeli "n0 "n > n0 an e" bn e" cn oraz istnieją granice
lim an = lim cn = a to istnieje lim bn oraz lim bn = a.
n " n " n " n "
DOWÓD: Z definicji granicy "µ > 0 "n1 "n > n1 a + µ > an
oraz
"µ > 0 "n2 "n > n2 a - µ < cn.
Wówczas dla n > n3 = max{n0, n1, n2}
a - µ < cn d" bn d" an d" a + µ.
StÄ…d istnieje lim bn oraz lim bn = a.
n " n "
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 19
Jeżeli istnieją granice lim an = a oraz lim bn = b to istnieją granice
n " n "
lim (an + bn),
n "
lim (an - bn),
n "
lim (an · bn).
n "
Ponadto lim (an + bn) = a + b,
n "
lim (an - bn) = a - b,
n "
lim (an · bn) = a · b.
n "
Jeżeli b = 0 i "n " N bn = 0 istnieje też
an an a
lim oraz lim = .
n " n "
bn bn b
GRANICE SPECJALNE
TWIERDZENIE 20 Zachodza nastepujace równości
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚ " gdy Ä… > 0,
1) lim nÄ… = 1 gdy Ä… = 0,
n " ôÅ‚
ół0 gdy ą < 0
"
n
2) lim A = 1, gdzie A > 0.
n "
"
n
3) lim n = 1.
n "
Å„Å‚
gdy q > 1,
ôÅ‚
ôÅ‚+ "
ôÅ‚
òÅ‚1
gdy q = 1,
4) lim qn =
n " ôÅ‚0
gdy |q| < 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
nie istnieje gdy |q| d" -1.
1
5) Istnieje granica lim (1 + )n = e.
n "
n
GRANICE SPECJALNE
Ponadto
6) jeżeli ciag {an}" wyrazach dodatnich jest ograniczony przez liczby
o
n
dodatnie to lim an = 1,
n "
"
n
w szczególności, jeżeli lim an = g " (0, "), to lim an = 1,
n " n "
7) jeżeli "n an = 0 i lim |an| = " to
n "
1
n
lim (1 + )a = e.
n "
an
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
1) Było na zajęciach wyrównawczych.
"
n
2) Załóżmy najpierw, że A e" 1. Wtedy A = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0.
Mamy A = (1 + ´n)n e" 1 + n´n (z nierównoÅ›ci Bernoulliego).
A-1
Stad e" ´n e" 0 i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0. Zatem
n
n "
"
n
lim A = lim (1 + ´n) = 1.
n " n "
1
Jeżeli teraz A " (0, 1) to > 1 i stad
A
"
1 1
n
lim A = lim = = 1
n " n "
n 1 n 1
lim
A A
n "
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:"
n
3) Niech n = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0.
Mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
n
n n(n-1)
k 2
n = (1 + ´n)n = 1n-k´n e" 1 + ´n.
k 2
k=0
n-1 2 1
"
Stad e" ´n e" 0, a zatem e" ´n e" 0
n(n-1) n
i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0.
n "
"
n
Mamy wiec lim n = lim (1 + ´n) = 1.
n " n "
4) Było na zajęciach wyrównawczych.
GRANICE SPECJALNE
1
5) Pokażemy, że ciag o wyrazach an = (1 + )n jest rosnacy i
n
ograniczony z góry.
1 1
Z nierówności Bernoulliego mamy (1 - )n e" 1 - , a stad
n2 n
1 1 1
(1 + )n(1 - )n e" 1 - .
n n n
Aatwo stad widać, że
1 1 1
an = (1 + )n e" (1 - )1-n = (1 + )n-1 = an-1.
n n n - 1
GRANICE SPECJALNE
Teraz wykażemy, że "n an d" 3.
Dla n e" 2 mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
n
1 1
n
an = (1 + )n = 1 + 1 + 1n-k =
k
n nk
k=2
n
n(n - 1) . . . (n + 1 - k)
2 + =
k!nk
k=2
n n
1 (n - 1) (n - 1) (n - 2) (n + 1 - k) 1
2 + . . . d" 2 + d"
k! n n n n k!
k=2 k=2
1
n
1
1 1 - ( )n-1
2
2 + d" 2 + d" 3.
1
2k-1 2 -
1
k=2
2
1
Ciag (1 + )n ma wiec granice oznaczamy ja litera e.
n
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
" "
"
n n
n
6) Jeżeli 0 <" d" an d" K L d" an d" K.
L
"to
n n
Mamy lim L = lim K = 1 z twierdzenia o trzech ciagach
n " n "
"
n
lim an = 1.
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
7) Założymy najpierw, że lim an = ".
n "
Określamy ciag liczb naturalnych pn < an d" pn + 1.
Oczywiście lim pn = ".
n "
1 1 1
n n n
Mamy nierówności (1 + )p d" (1 + )a d" (1 + )p +1.
pn + 1 an pn
1 1 1
n n
Z uwagi na równości (1 + )p = (1 + )p +1 oraz
1
pn + 1 pn + 1
1 +
pn + 1
1 1 1
n n
(1 + )p +1 = (1 + )p (1 + )1 skrajne ciagi maja granice równa e.
pn pn pn
GRANICE SPECJALNE
Z twierdzenia o trzech ciagach granica środkowego też jest e.
1 1 1
n n
Jeżeli teraz an < 0 to (1 + )a = (1 + )|a |-1(1 + )
an |an| - 1 |an| - 1
Aatwo widać, że granica prawej strony przy |an| zmierzającym do
nieskończoności w powyższej równości jest równa e.
SYMBOLE OZNACZONE
DEFINICJA 22
Mówimy, że ciag {an} " zmierza do 0 po wartościach dodatnich
n=1
( ujemnych ) wtw, gdy "n0"n > n0 an > 0 ( odpowiednio "n0"n > n0
an < 0 ) oraz lim an = 0. Zapisujemy lim an = 0+ ( odpowiednio
n " n "
lim an = 0- ).
n "
TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim an = 0+, lim bn = 0- lim cn = c > 0, lim dn = d < 0
n " n " n " n "
lim pn = + ", lim qn = - " to
n " n "
cn cn dn dn
lim = ", lim = - ", lim = - ", lim = ",
n " n " n " n "
an bn an bn
pn pn qn qn
lim = ", lim = - ", lim = - ", lim = ",
n " n " n " n "
an bn an bn
lim pn · cn = ", lim pn · dn = - ", lim qn · cn = - ",
n " n " n "
lim qn · dn = ".
n "
SYMBOLE OZNACZONE
TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim cn = c e" 0, lim pn = + ", lim qn = - " i c < 1 to
n " n " n "
n n
lim cp = 0, lim cq = ",
n n
n " n "
gdy c > 1 to
n n
lim cq = 0, lim cp = ".
n n
n " n "
UWAGA 24 Na mocy powyższego twierdzenia symbole
a a Ä… " Ä… "
, , , , Ä… " · a oraz cÄ… " dla c = 1 sa symbolami
0+ 0- 0+ 0-
oznaczonymi.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
TWIERDZENIE 25
Symbolami nieoznaczonymi sa
0 "
0 · (Ä… "), , , " - ", 00, "0, 1Ä… ".
0 "
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 012010 11 WIL Wyklad 042010 11 WIL Wyklad 082010 11 06 WIL Wyklad 062010 11 07 WIL Wyklad 072010 11 04 WIL Wyklad 04id 1742010 11 08 WIL Wyklad 08id 1752010 11 05 WIL Wyklad 052011 02 21 WIL Wyklad 19id 5232011 02 21 WIL Wyklad 20(1)2011 02 21 WIL Wyklad 18wyklad 02 03 10 11 fizykaWprowadzenie OECD 2010 wykłady 02 20 v 1 0Fabryka dźwięków syntetycznych 2010 11 02 Grindhouse Edition2013 02 22 WIL Wyklad 12011 02 21 WIL Wyklad 19(1)2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)Kolokwium 1 2010 11więcej podobnych podstron