RACHUNEK CAA
KOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Całki nieoznaczone
Definicja 1 (funkcji pierwotnej).
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli
F (x) = f (x), dla każdego x " I.
Twierdzenie 1 (podstawowe o funkcjach pierwotnych).
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas
1. G(x) = F(x) + C0, gdzie C0 " R, jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na
I,
2. każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci
F(x) + C1, gdzie C1 " R.
Definicja 2 (całki nieoznaczonej).
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I.

Całką nieoznaczoną, ozn. f (x)dx, funkcji f na przedziale I nazywa-
my zbiór funkcji
{F(x) + C : C " R},
gdzie
f (x) nazywamy funkcją podcałkową.
C nazywamy stałą całkowania,
Wniosek 1.
Zachodzi wzór

f (x)dx = F(x) + C
gdzie F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f (x) na rozważa-
nym przedziale, C jest dowolną stałą.
Uwaga 1 (pochodna całki nieoznaczonej).
Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każ-
dego x " I zachodzi wzór


f (x)dx = f (x)
Uwaga 2 (całka nieoznaczona pochodnej).

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każ-
dego x " I zachodzi wzór


f (x)dx = f (x) + C
gdzie C " R.
Twierdzenie 2 (o całkowalności w sensie Newtona).
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale I, to jest całkowalna w
sensie Newtona na tym przedziale.
Całki nieoznaczone funkcji elementarnych

0 dx = C

xÄ…+1
xÄ… dx = + C dla Ä… -1
Ä… + 1

1
dx = ln |x| + C
x

ax
ax dx = + C dla a > 0, a 1
ln a

ex dx = ex + C

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C

1
dx = tg x + C
cos2 x

1
dx = - ctg x + C
sin2 x

1
dx = arctg x + C = -arcctg x + C
1 + x2

1
dx = arcsin x + C = - arccos x + C
"
1 - x2
gdzie C oznacza dowolną stałą rzeczywistą
a zakres zmienności x jest zgodny z przedziałami ciągłości odpowiedniej
funkcji podcałkowej
Twierdzenie 3 (o liniowości całki nieoznaczonej).
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to

1. [ f (x) " g(x)]dx = f (x)dx " g(x)dx

2. A · f (x)dx = A · f (x)dx
Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez części).
Jeżeli funkcje u i v mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne u i v ,
to

u(x) · v (x)dx = u(x) · v(x) - u (x) · v(x)dx
na tym przedziale.
Twierdzenie 5 (o całkowaniu przez podstawienie).
Jeżeli
1. funkcja f : I R jest ciągła na przedziale I,
2. funkcja Õ : T I ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale T,
to

f (x)dx = f (Õ(t))Õ (t)dt = F(Õ(t)) + C,
gdzie F jest dowolnÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f oraz C " R.
Użyteczne wzory


f (x)
dx = ln | f (x)| + C, przy założeniu, że f (x) 0
f (x)

n+1
f (x)
n
f (x) · f (x)dx = + C, dla n " N *" {0}
n + 1



f (x)
dx = 2 f (x) + C, przy założeniu, że f (x) > 0

f (x)


f (x) 1
dx = - + C, przy założeniu, że f (x) 0
2
f (x)
f (x)
Twierdzenie 6.
Jeżeli

f (x)dx = F(x) + C,
to

1
f (ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
Wzory rekurencyjne

sinn-1 x · cos x n - 1
sinn xdx = - + sinn-2 xdx, n 2
n n

cosn-1 x · sin x n - 1
cosn xdx = + cosn-2 xdx, n 2
n n

dx x 2n - 3 dx
= + , n 2
2(n - 1)
(1 + x2)n 2(n - 1)(1 + x2)n-1 (1 + x2)n-1

dx x 2n - 3 dx
= + ,
(a2 " x2)n 2(n - 1)a2(a2 " x2)n-1 2(n - 1)a2 (a2 " x2)n-1
a > 0, n 2

tgn-1x
tgnxdx = - tgn-2xdx, n 2
n - 1

(ln x)ndx = x(ln x)n - n (ln x)n-1dx

xnexdx = xnex - n xn-1exdx
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja 3 (funkcji wymiernej właściwej).
FunkcjÄ™ wymiernÄ…
Lm(x)
W(x) =
Mn(x)
nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od
stopnia wielomianu w mianowniku, tj. m < n.
Uwaga 3.
Każdą funkcję wymierną niewłaściwą (m n) można przedstawić w
postaci sumy wielomianu (stopnia m - n) i funkcji wymiernej właściwej.
Definicja 4 (ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju).
Funkcję wymierną (właściwą) postaci
A
,
(x - a)n
gdzie n " N, a, A " R, nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Funkcję wymierną (właściwą) postaci
Ax + B
,
(x2 + px + q)n
gdzie n " N, A, B, p, q " R oraz " = p2 - 4q < 0, nazywamy ułamkiem
prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie 7 (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste).
Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy
ułamków prostych przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne.
Ponadto jeżeli mianownik funkcji po rozkładzie na czynniki przyjmuje
postać
Mn(x) = a(x - a1)k1 · ... · (x - am)km · (x2 + p1x + q1)l1 · ... · (x2 + psx + qs)ls,
gdzie a, a1, ..., am, p1, q1, ..., ps, qs " R, a 0, "i = p2 - 4qi < 0,
i
i = 1, ..., s, a wykładniki k1, ..., km, l1, ..., ls " N, to funkcję wymierną
przedstawiamy jako sumę k1 +k2 +...+km ułamków prostych pierwszego
rodzaju oraz l1 + l2 + ... + ls ułamków prostych drugiego rodzaju, przy
czym
" czynnikowi (x-ai)ki odpowiada suma ki ułamków prostych pierwszego
rodzaju postaci:
Aik
Ai1 Ai2
i
+ + ... + ,
x - ai
(x - ai)2 (x - ai)ki
gdzie Ai1, Ai2, ..., Aiki " R dla 1 i m
" czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamków prostych
drugiego rodzaju postaci:
Bjl x + C
jl j
Bj1x + C Bj2x + C
j1 j2
j
+ + ... + ,
x2 + pjx + qj (x2 + pjx + qj)2
(x2 + pjx + qj)lj
gdzie Bj1, C , Bj2, C , ..., Bjl , C " R dla 1 j s.
j1 j2 jl j
j
Uwaga 4 (o całkowaniu ułamków prostych pierwszego rodzaju).
Å„Å‚

ôÅ‚
A · ln |x - a| + C, r = 1
ôÅ‚
A
òÅ‚
dx =
A
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
(x - a)r
1 - r(x - a)1-r + C, r 2
Uwaga 5 (o całkowaniu ułamków prostych drugiego rodzaju).

Ax + B A 2x + p A · p dx
dx = dx+(B- )
2 2
(x2 + px + q)r (x2 + px + q)r (x2 + px + q)r
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Uwaga 6.
Wez
my całki trygonometryczne postaci

R(sin x, cos x)dx,
gdzie R(sin x, cos x) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych: sin x i
cos x. Jeśli
1. funkcja R jest nieparzysta względem sin x, tj. R(- sin x, cos x) = -R(sin x, c
to stosujemy podstawienie
cos x = t
Wówczas - sin x dx = dt.
2. funkcja R jest nieparzysta względem cos x, tj. R(sin x, - cos x) =
-R(sin x, cos x), to stosujemy podstawienie
sin x = t
Wówczas cos x dx = dt.
3. funkcja R jest parzysta względem sin x i cos x , tj. R(- sin x, - cos x) =
R(sin x, cos x), to stosujemy podstawienie
tg x = t
1
Wówczas x = arctg t i dx = dt oraz
1 + t2
t 1
sin x = i cos x =
"
1 + t2
1 + t2
4. funkcja R jest dowolnÄ… funkcjÄ… wymiernÄ…, to stosujemy podstawienie
uniwersalne
x
tg = t
2
x 2
Wówczas = arctg t i dx = dt oraz
2
1 + t2
2t 1 - t2
sin x = i cos x =
1 + t2 1 + t2
Uwaga 7.
Do obliczania całek typu

sin ax · cos bx dx, sin ax · sin bx dx, cos ax · cos bx dx
stosujemy tożsamości trygonometryczne:
Ä… " ² Ä… Ä… ²
sin Ä… " sin ² = 2 sin cos
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
cos Ä… + cos ² = 2 cos cos
2 2
Ä… + ² Ä… - ²
cos Ä… - cos ² = -2 sin sin
2 2
Uwaga 8.
Do obliczania całek typu

f (ex) dx,
gdzie f jest dowolnÄ… funkcjÄ…, stosujemy podstawienie ex = t.
Całkowanie funkcji niewymiernych
Uwaga 9.
Do obliczania całek typu
ëÅ‚ öÅ‚

ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚x, n ax + b÷Å‚ dx,
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚
cx + dłł

n
ax + b
gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych x i
cx + d,
n > 1, n " N oraz ad - bc 0 stosujemy podstawienie

ax + b
n
= t
cx + d
Jeżeli cx + d a" 1, to całka przyjmuje postać


"
n
R x, ax + b dx
"
n
Stosujemy wówczas podstawienie ax + b = t.
Uwaga 10.
Do obliczania całek typu
ëÅ‚
p1/q1 pr/qröÅ‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ax + b
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚x, ax + b ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R , ..., dx,
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
cx + d cx + d
pi/qi
ax + b
gdzie R jest funkcjÄ… wymiernÄ… wielu zmiennych x i ,
cx + d
i = 1, ..., r, pi/qi " Q oraz ad - bc 0 stosujemy podstawienie
ax + b
= tn
cx + d
gdzie n = NWW(q1, q2, ..., qr).
Uwaga 11.
Niech R będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych.
Do obliczania całek typu


1. R(x, a2 - x2)dx stosujemy podstawienie
x = a sin t lub x = a tgh t


2. R(x, x2 - a2)dx stosujemy podstawienie
x = a cosh t


3. R(x, x2 + a2)dx stosujemy podstawienie
x = a tg t lub x = a sinh t
gdzie a > 0.
Uwaga 12.
Do obliczania całek typu


R(x, ax2 + bx + c)dx
"
gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych x i ax2 + bx + c
stosujemy podstawienia Eulera obejmujące następujące przypadki:
1. gdy a > 0, to stosujemy podstawienie

"
ax2 + bx + c Ä… a · x = t
2. gdy a < 0 i " > 0, to stosujemy podstawienie

ax2 + bx + c = (x - x0)t
gdzie x0 jest jednym z pierwiastków trójmianu ax2 + bx + c
3. gdy c > 0, to stosujemy podstawienie

"
ax2 + bx + c = x · t Ä… c


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykład 9 ETI
wyklad7 1 ETI
wykład 8 ETI
wykład 4 ETI
wykład 5 ETI
wykład 5 ETI
wyklad18 ETI
wyklad19 ETI
wykład 7 ETI
wykład 3 ETI
wyklad9 ETI
wykład 12 ETI
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja

więcej podobnych podstron