plik


MACIERZOWY ZAPIS R{NICZKI 1.Niech U TopRn, f :U R oraz niech f D(x0) dla x0 Rn . dx f : Rn R Poniewa| r|niczka jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie 0 kanonicznej macierz r|niczki mo|na zapisa w postaci e1, ..., en f f [dx f ]=[dx f (e )424444)]= (x0) ... (x0) =: ... dx f (en x grad f x0 0 0 0 1 3 14414 3 2 xn 1 macierz warto[ci r|niczki na wektorach r|niczki bazowych rwne kolejnym pochodnym czstkowym Macierz r|niczki nazywamy gradientem funkcji f i oznaczamy gradx f . 0 2. Przypadek oglny Niech U TopKn, p ( ) f = f1... f : U K , p fi :U K dla i =1,..., p, gdzie ka|de z odwzorowaD f nazywamy skBadow odwzorowania f. i f (x1, x2, x3)= (x1x2, x1 + x2) Np. funkcja ma 2 skBadowe f i f : 1 2 f1(x1, x2, x3)= x1x2 f2(x1, x2, x3)= x1 + x2 Macierz r|niczki dx f : 0 f1 f1 f1 (x0) (x0) (x0) x x2 L xn f1 f2 f2 2 (x0) (x0) L (x0) x1 x2 xn [dx f ]= 0 M M L M f f f p p p (x0) (x0) L (x0) x1 x2 xn nazywamy macierz Jacobiego odwzorowania f w punkcie x (j-ta kolumna macierzy 0 Jacobiego jest kolumn pochodnych czstkowych odwzorowania f wzgldem zmiennej x ). j Je[li n=p (macierz jest kwadratowa), to okre[lony jest wyznacznik tej macierzy, ktry nazywamy jakobianem, det[dx f ]= J jakobian x0 0 1 ZASTOSOWANIE MACIERZY: WZR NA POCHODNE CZSTKOWE ZAO{ENIA ODWZOROWAC Niech U TopKn, p V TopK , f g U V Ks f :U V , n Kp K K g :V Ks. Rozpatrzmy zBo|enie h = g o f , tzn. odwzorowanie h(x) = g( f (x)). Niech x0 U , y0 = f (x0)V , f , g D(x0). Wtedy istnieje r|niczka zBo|enia i jest rwna zBo|eniu r|niczek, h 678 $dx (g o f )= dy g o dx f . 0 0 0 Poniewa| skBadanie odwzorowaD liniowych odpowiada mno|eniu reprezentujcych je macierzy gn h1 h1 f1 (y0) L (y0) f1 (x0) L (x0) g1 (x0) L (x0) yp x1 x1 xn y1 xn = M M M M M M h M M hsM gs f p f s p (x0) L (x0) gs (y0) L (y0) (x0) L (x0) x1 xn y1 yp x1 xn [dy g] [dx f ] zatem mno|c k-ty wiersz macierzy przez j-t kolumn macierzy otrzymujemy 0 0 WZR NA POCHODNE CZSTKOWE ZAO{ENIA ODWZOROWAC p hk gk fi (x0)= (y0) (x0) dla j = 1,..., n; k =1,..., s. x yi xj i=1 j 2 PrzykBad Niech V TopR2 (V - zbir otwarty w R2), g :V R, g D(V ). Wyznaczy pochodn funkcji g we wspBrzdnych biegunowych. Tworzymy funkcj f, ktra wprowadza wspBrzdne biegunowe (r,j) f :[0,+)[0,2p ) ' (r,j)a f (r,j)= (r cosj, r sinj) R2 Niech{ Top([0,+)[0,2p )): f [U] V. U podzbir otwarty Wtedy h = g o f :U R. Ponadto h D(U ). Aby wyznaczy macierz zBo|enia h, wyznaczmy macierze r|niczek odwzrowaD f i g: g g [d(x, y)g]= (x, y) (x, y) x y (r cosj) (r cosj) cosj - r sinj r j [d(r,j ) f ]= (r sinj) (r sinj) = sinj r cosj r j Wyznaczamy macierz r|niczki odwzorowania h cosj - r sinj g g [d(r,j )h]= [d(x, y)g] [d(r,j ) f ]= (x, y) (x, y) = sinj r cosj x=r cosj x y y=r sinj x=r cosj y=r sinj g g g g = (x, y)+ sinj (x, y) - r sinj (x, y)+ r cosj (x, y) cosj x y x y opracowaB Jacek ZaDko 3

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11 Macierzowy i operatorowy zapis różniczek
Wzory na pochodne (1)
Równania różniczkowe z chemii na politechnice
10 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Spinrad Jeździec na pochodni
wykład 06 macierze
WZÓR NA REFERATY
Wzor na Łamana czestosci ! dane2
AM23 w07 Pochodne cząstkowe zastosowania
337 Zrealizowane róznice kursowe na rozrachunkach ujęcie w księgach handlowych
pochodne czastkowe wyzszych rzedow
Inny wzor na to KAtarzyny

więcej podobnych podstron