ÿþ M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 5
7 . 1 D r g a n i a s w o b o d n e n i e t Bu m i o n e . D r g a n i a w Ba s n e
D r g a n i a m i s w o b o d n y m i n i e t Bu m i o n y m i n a z y w a m y p r o c e s f i z y c z n y s p o w o d o w a n y w y Bc z n i e
p o c z t k o w y m z a b u r z e n i e m r ó w n o w a g i ( n a Bo |e n i e w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ) , p r z y b r a k u
w y m u s z a j c y c h s i B z e w n t r z n y c h o r a z b r a k u s i B o p o r ó w r u c h u . R u c h d r g a j c y o d b y w a s i
w ó w c z a s w y Bc z n i e p o d d z i a Ba n i e m s i B p o t e n c j a l n y c h ( s p r |y s t o [c i ) . J e [l i p o n a d t o s i By
t e s l i n i o w y m i f u n k c j a m i p r z e m i e s z c z e D b d t o d r g a n i a l i n i o w e . O p i s u j e j e r ó w n a n i e
d 2 q
m Å" + k Å"q = 0 ( 7 . 1 5 )
d t 2
k
2
W p r o w a d z a j c o z n a c z e n i e É = ( 7 . 1 6 )
m
m o |n a j e p r z e p i s a w p o s t a c i
d 2 q
2
+ É Å"q = 0 ( 7 . 1 7 )
d t 2
W y k o n u j c n a s t p n i e t r a n f o r m a c j c a Bk o w L a p l a c e ' a w z g l d e m f u n k c j i q ( t )
ëø öø
ìøm Å" d 2 q + k Å"q ÷ø= 0
L ( 7 . 1 8 )
ìø ÷ø
d t 2
íø øø
ëød 2 q ( t ) öø
ìø ÷ø= s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q ( 0 ) - d q ( 0 )
p r z y u w z g l d n i e n i u , |e L
ìø ÷ø d t
d t 2
íø øø
o r a z p r z y j c i u s k r ó c o n y c h o z n a c z e D d l a w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h
d q ( 0 )
q ( 0 ) = q o = v o ( 7 . 1 9 )
d t
R ó w n a n i e ( 7 . 1 7 ) p r z y b i e r a p o s t a
2
s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o + É Å"Q ( s ) = 0 ( 7 . 2 0 )
W y z n a c z a j c z p o w y |s z e g o r ó w n a n i a s z u k a n f u n k c j q ( s ) o t r z y m u j e s i
v o + s Å"q o v o É
s
Q ( s ) = = Å" + q o Å" ( 7 . 2 1 )
2 2 2
É
s 2 + É s 2 + É s 2 + É
W y k o r z y s t u j c z a l e |n o [c i t r a n s f o r m a c y j n e o r y g i n a B p r z y b i e r a o s t a t e c z n i e p o s t a
v o
( ) ( )
q ( t ) = Å"s i n ÉÅ"t + q o Å"c o s ÉÅ"t ( 7 . 2 2 )
É
É
Z w i z a n a z a l e |n o [c i ( 7 . 1 6 ) s t a Ba u z y s k u j e d z i k i ( 7 . 2 2 ) i n t e r p r e t a c j f i z y c z n .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 6
W i e k o [ t n a z y w a s i c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h . J e s t o n a i n d y w i d u a l n c e c h r o z w a |a n e g o
o b i e k t u . N i e z a l e |y o d c z y n n i k ó w z e w n t r z n y c h . P o p r z e k s z t a Bc e n i u ( 7 . 1 6 ) m o |n a j w
p r z y p a d k u u s t r o j u o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y w y z n a c z a z z a l e |n o [c i
k
É = ( 7 . 2 3 )
m
S t a c j o n a r n y p r o c e s h a r m o n i c z n y p o s t a c i ( 7 . 2 2 ) z d o w o l n y m i s t a By m i A i B , s p e Bn i a j c y
r ó w n a n i e ( 7 . 1 5 ) n a z y w a m y d r g a n i a m i w Ba s n y m i :
( ) ( )
q ( t ) = A Å"s i n ÉÅ"t + B Å"c o s ÉÅ"t ( 7 . 2 4 )
F u n k c j a p o w y |s z a s t a n o w i m a t e m a t y c z n e r o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( 7 . 1 5 ) i n i e j e s t
p r o c e s e m f i z y c z n y m . O p i s u j e j e d y n i e p e w n d y s p o z y c j u s t r o j u d o d r g a D.
W y k o r z y s t u j c z a l e |n o [c i
2
ëøv o öø
A = + q o 2
ìø ÷ø
( 7 . 2 5 )
íøÉøø
ëøÉÅ"q öø
o
Õ = a t a n
ìø ÷ø
v o
íø øø
R ó w n a n i e ( 7 . 2 2 ) m o |n a p r z e p i s a t a k |e w f o r m i e u p r o s z c z o n e j
( )
q ( t ) = A Å"s i n ÉÅ"t + Õ ( 7 . 2 6 )
P o c h o d n e t e j f u n k c j i w y n o s z
d q
( ) ( 7 . 2 7 )
= A Å"ÉÅ"c o s ÉÅ"t + Õ
d t
d 2 q
2
( ) ( 7 . 2 8 )
= - A Å"É Å"s i n ÉÅ"t + Õ
d t 2
Z z a l e |n o [c i ( 7 . 2 8 ) w y n i k a , |e w r u c h u d r g a j c y m h a r m o n i c z n y m z a c h o d z i n a s t p u j c a
w a |n a z a l e |n o [:
d 2 q
2
= - É Å"q ( 7 . 2 9 )
d t 2
M a t e m a t y c z n e u j c i e r u c h u p o s t a c i ( 7 . 1 5 ) s t a n o w i p o d s t a w o p i s u s z e r e g u r ó |n y c h d r g a D.
W s z y s t k i e t a k i e u k Ba d y ( o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y ) n a z y w a n e s o s c y l a t o r a m i h a r m o n i c z n y m i .
D o o s c y l a t o r ó w h a r m o n i c z n y c h m o |n a z a l i c z y : w a h a d Bo k o Bo w e , w a h a d Bo c y k l o i d a l n e , u k Ba d y
m e c h a n i c z n e z a w i e r a j c e e l e m e n t y m a s o w e i s p r |y s t e , u k Ba d y e l e k t r y c z n e z a w i e r a j c e e l e m e n t y
i n d u k c y j n e i p o j e m n o [c i o w e .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 7
P r o s t y o s c y l a t o r h a r m o n i c z n y s t a n o w i u k Ba d z a c h o w a w c z y . J e g o e n e r g i a k i n e t y c z n a j e s t r ó w n a
2
1 1 q 1
2
ëød öø
( ) 2
E k = Å"m Å"v 2 = Å"m Å" = Å"m Å"A 2 Å"É Å"c o s ÉÅ"t + Õ
ìød t ÷ø
2 2 2
íø øø
E n e r g i a p o t e n c j a l n a w y n o s i n a t o m i a s t
#
1
õø
E p = k Å"q d q = Å"k Å"q 2 + C
õø
2
!#
S t a Ba C w p r z y p a d k u o d n i e s i e n i a e n e r i i d o p o Bo |e n i a q = 0 ( p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i ) b d z i e r ó w n a 0 .
S u m a o b u e n e r g i i w y n i e s i e w i c o s t a t e c z n i e
1
2
( ) 2 1 ( ) 2 1
E k + E p = Å"m Å"A 2 Å"É Å"c o s ÉÅ"t + Õ + Å"k Å"A 2 Å"s i n ÉÅ"t + Õ = k Å"A 2
2 2 2
P o n i e w a | z p i e r w s z e j z z a l e |n o [c i ( 7 . 2 5 ) w y n i k a , |e
2
ëøv o öø
A 2 = + q o 2
ìø ÷ø
íøÉøø
m o |n a s u m e n e r g i i z a p i s a j a k o
îøëøv o öø2 ùø
1
ïøìø ÷ø úø
E k + E p = Å"k Å" + q o 2
2
ðøíøÉøø ûø
j e s t o n a o c z y w i [c i e r ó w n a s u m i e t y c h e n e r g i i w c h w i l i p o c z t k o w e j
v o 2 v o 2
1 1
k Å" = k = m Å"v o 2
E k o + E p o = Å"m Å"v o 2 + k Å"q o 2 g d y |
2 k
2 2 É
m
O t r z y m u j e m y w i c p r a w o z a c h o w a n i a e n e r g i i
E k + E p = E k o + E p o = c o n s t
P r z e z c a By c z a s t r w a n i a r u c h u h a r m o n i c z n e g o s u m a e n e r g i i k n e t y c z n e j i p o t e n c j a l n e j j e s t s t a Ba .
S t a B w a r t o [ t e j s u m y o k r e [l a j w a r u n k i p o c z t k o w e .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 8
P r z y k Ba d 7 . 2
N a b e l c e u s t a w i o n o m a s z y n . W y z n a c z y c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h u s t r o j u w p r z y p a d k u
b e z p o [r e d n i e g o z a m o n t o w a n i a m a s z y n y n a b e l c e o r a z p r z y z a s t o s o w a n i u p o d k Ba d e k o
s z t y w n o [c i k . W y z n a c z y r ó w n a n i e r u c h u u s t r o j u w o b u p r z y p a d k a c h p r z y w y c h y l e n i u
m a s z y n y ( p r z e m i e s z c z e n i e w p i o n i e z g o d n i e z k i e r u n k i e m q ) z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i o 2 c m .
D a n e :
- p a r a m e t r y s z t y w n o [c i b e l k i w s p o r c z e j
a ) m
E I
E = 2 0 5 Å"G P a I = 8 0 . 1 Å"c m 4
q
- m a s a m a s z y n y m = 9 0 0 Å"k g
a b
N
- s z t y w n o [c i p o d k Ba d e k k = 1 0 5 Å"
m
b ) m
k
E I
- w y m i a r y g e o m e t r y c z n e a = 1 2 0 Å"c m
b = 2 8 0 Å"c m
q
a b
R o z w i z a n i e :
3 Å"E Å"I Å"( a + b ) N
k b = k b = 1 7 4 5 3 7 . 6 2 8
S z t y w n o [ m o d e l o w a b e l k i
m
a 2 Å"b 2
k b
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h k o n s t r u k c j i b e z p o d k Ba d e k É = É = 1 3 . 9 2 6 s - 1
m
1 N
S z t y w n o [ z a s t p c z a u k Ba d u z p o d k Ba d k a m i k z = k z = 6 3 5 7 5 . 1 2 1
1 1 m
+
k k b
k z
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h k o n s t r u k c j i z p o d k Ba d k a m i Ép = Ép = 8 . 4 0 5 s - 1
m
Z z a Bo |e D z a d a n i a w y n i k a , |e v o = 0 q o = 0 . 0 2 r ó w n a n i a r u c h u p r z y b i e r w i c p o s t a
( )
q ( t ) = 0 . 0 2 Å"c o s ÉÅ"t ( l i n i a c i g Ba n a w y k r e s i e ) ( l i n i a p r z e r y w a n a )
q ( t ) = 0 . 0 2 Å"c o s Ép Å"t
( )
0 . 0 2
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
0 . 0 2
C z a s t
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
P r z e m i e s z c z e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 9
P r z y k Ba d 7 . 3
O p i s a r ó w n a n i e r u c h u c i e c z y n i e [c i [l i w e j w n a c z y n i u o k s z t a Bc i e U - r u r k i
b )
a ) c )
q = 0
a
d
D a n e : - c a Bk o w i t a d Bu g o [ s Bu p a c i e c z y ( L = a + 2 b ) L = 1 8 0 c m
- [r e d n i c a p r z e w o d u n a c z y n i a d = 1 0 Å"c m
k g
- g s t o [ c i e c z y Á = 1 0 0 0 Å"
m 3
R o z w i z a n i e :
W y k o r z y s t a m y z a s a d z a c h o w a n i a e n e r g i i d l a o s c y l a t o r a h a r m o n i c z n e g o . W y r a |e n i a
o p i s u j c e e n e r g i e n a l e |y j e d n a k z m o d y f i k o w a z u w z g l d n i e n i e m s p e c y f i k i c i e c z y .
C a Bk o w i t a m a s a c i e c z y w n a c z y n i u
ÀÅ"d 2
M = Å"L Å"Á M = 1 4 . 1 3 7 k g
4
P r z y z a Bo |e n i u , i | c i e c z j e s t n i e [c i [l i w a , j e j e n e r g i k i n e t y c z n m o |n a w y r a z i w z o r e m
2
1 ÀÅ"d 2
ëød q öø
E k = M Å"v 2 = Å"L Å"ÁÅ"
ìød t ÷ø
2 8
íø øø
E n e r g i a p o t e n c j a l n a z w i z a n a j e s t z n a d w y |k p o t e n c j a Bu p o d n i e s i o n e g o s Bu p a c i e c z y
p o n a d a k t u a l n e z w i e r c i a d Bo c i e c z y w d r u g i m s Bu p i e . N a l e |y z w r ó c i u w a g , |e w y n i e s i e n i e
z w i e r c i a d Ba o w i e l k o [ q p o n a d p o z i o m r ó w n o w a g i p o w o d u j e r ó |n i c w y s o k o [c i o 2 q .
q
#
q
#
ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2
E p = 2 õø Å"ÁÅ"g Å"¾ d ¾ = Å"ÁÅ"g Å" ¾ d ¾ = Å"ÁÅ"g Å"q 2
õø
õø
4 2 !#0 4
!#0
Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i o t r z y m a m y
2
ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2
ëød q öø
Å"L Å"ÁÅ" + Å"ÁÅ"g Å"q 2 = c o n s t
ìød t ÷ø
8 4
íø øø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
q
q
b
q
¾
d
¾
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 0
J e [l i w y r a |e n i e t o z r ó |n i c z k u j e m y t o u z y s k a m y z a l e |n o [
ÀÅ"d 2 d q d 2 q ÀÅ"d 2 d q
Å"L Å"ÁÅ" Å" + Å"ÁÅ"g Å"q Å" = 0
4 d t d t
d t 2 2
P o u p o r z d k o w a n i u u z y s k u j e m y r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e r u c h u
ëød 2 öø
d q q 2 Å"g
ìø ÷ø= s k d w y n i k a d 2 q + 2 Å"g 0
Å" + Å"q 0 Å"q =
d t ìød t 2 L ÷ø
d t 2 L
íø øø
P o r ó w n u j c o t r z y m a n y z w i z e k z r ó w n a n i e m ( 7 . 1 7 ) m o |e m y j e s z c z e p r z y j p o d s t a w i e n i e
2 Å"g
É = É = 3 . 3 0 1 s - 1
L
Z a t e m o s t a t e c z n i e r u c h u c i e c z y w n a c z y n i u b d z i e o p i s y w a z a l e |n o [
ëø 2 Å"g öø ëø 2 Å"g öø
q ( t ) = A Å"s i n Å"t + B Å"c o s Å"t
ìø ÷ø ìø ÷ø
L L
íø øø íø øø
S t a Be A i B n a l e |y o b l i c z y z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h . Z a k Ba d a j c p r z y k Ba d o w o
m
q o = 1 5 Å"c m v o = 1
s
O p i s r u c h u u p r a s z c z a s i d o p o s t a c i
v o
ëø 2 Å"g öø ëø 2 Å"g öø
q ( t ) = q o Å"c o s Å"t + Å"s i n Å"t
ìø ÷ø ìø ÷ø
L L
É
íø øø íø øø
W y k r e s t e j f u n k c j i p r z e d s t a w i a p o n i |s z y s z k i c
5 0
0 2 4 6 8 1 0
5 0
2 À
O k r e s d r g a D T = T = 1 . 9 0 3 s
É
2
ëøv o öø
A m p l i t u d a A = + q o 2 A = 3 3 . 8 0 5 c m
ìø ÷ø
íøÉøø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 1
7 . 2 D r g a n i a s w o b o d n e t Bu m i o n e .
R ó w n a n i e d r g a D s w o b o d n y c h t Bu m i o n y c h o p i s u j e p r o c e s f i z y c z n y s p o w o d o w a n y z a b u r z e n i e m
s t a n u r ó w n o w a g i , c z y l i z a i s t n i e n i e m w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ( 7 . 1 9 ) . P r z y u w z g l d n i u s i B
o p o r u t Bu m i e n i a w i s k o t y c z n e g o r ó w n a n i e r u c h u p r z y b i e r z e p o s t a :
d 2 q d q
m Å" + c Å" + k Å"q = 0 ( 7 . 3 0 )
d t 2 d t
P o p r z e k s z t a Bc e n i u d o w y g o d n i e j s z e j p o s t a c i m a t e m a t y c z n e j b d z i e w y g l d a
d 2 q d q
2
+ 2 Å"r Å" + É Å"q = 0 ( 7 . 3 1 )
d t
d t 2
c
g d z i e 2 Å"r = ( 7 . 3 2 )
m
É w g ( 7 . 1 6 )
R o z w i z a n i a r ó w n a n i a ( 7 . 3 1 ) p o s z u k u j e m y m e t o d t r a n f o r m a c j i L a p l a c e ' a :
ëød 2 q d q 2 öø
ìø ÷ø=
L + 2 Å"r Å" + É Å"q 0 ( 7 . 3 3 )
ìød t 2 d t ÷ø
íø øø
K o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i ( 7 . 1 9 ) z a p i s u j e m y
ëød 2 q ( t ) öø
ìø ÷ø= s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q ( 0 ) - d q ( 0 ) s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o
L =
ìø ÷ø d t
d t 2
íø øø
( 7 . 3 4 )
ëød Å"q ( t ) öø
L
ìø ÷ø= s Å"Q ( s ) - q ( 0 ) = s Å"Q ( s ) - q o
d Å"t
íø øø
P o p o d s t a w i e n i u d o ( 7 . 3 3 ) o t r z y m u j e m y
2
s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o + 2 Å"r Å" s Å"Q ( s ) - q o + É Å"Q ( s ) = 0 s k d
( )
s Å"q o + 2 Å"r Å"q o + v o
s + r 1
Q ( s ) = = q o Å" + r Å"q o + v o Å" ( 7 . 3 5 )
( )
2 2 2
s 2 + 2 Å"r Å"s + É s 2 + 2 Å"r Å"s + É s 2 + 2 Å"r Å"s + É
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 2
T r a n s f o r m a c j o d w r o t n w y z n a c z a s i k o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i
1
2 2
( )
f ( t ) = Å"e - r Å"t Å"s i n É - r 2 Å"t d l a r 2 < É
2
É - r 2
1
2
F ( s ) = ”! f ( t ) = t Å"e - r Å"t d l a r 2 = É
2
s 2 + 2 Å"r Å"s + É
1
2 2
( )
f ( t ) = Å"e - r Å"t Å"s i n h r 2 - É Å"t d l a r 2 > É
2
r 2 - É
2 2
( )
f ( t ) = e - r Å"t Å"c o s É - r 2 Å"t d l a r 2 < É
s + r
2
F ( s ) = ”! f ( t ) = e - r Å"t d l a r 2 = É
2
s 2 + 2 Å"r Å"s + É
2 2
( )
f ( t ) = e - r Å"t Å"c o s h r 2 - É Å"t d l a r 2 > É
O s t a t e c z n e r o z w i z a n i e z a l e |y w i c o d w i e l k o [c i t Bu m i e n i a . W z a l e |n o [c i o d j e g o w a r t o [c i
w y r a |o n e j w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a t Bu m i e n i a r , m i e r z o n e j w s t o s u n k u d o w a r t o [c i c z s t o [c i
d r g a D w Ba s n y c h É r o z r ó |n i a s i t r z y p r z y p a d k i .
P r z y p a d e k 1 - t Bu m i e n i e n a d k r y t y c z n e
W t y m p r z y p a d k u t Bu m i e n i e j e s t t a k d u |e , i | z a c h o d z i z a l e |n o [2 2 w ó w c z a s
r > É
r Å"q o + v o
( ) s i n h r 2 É Å"t úø ( 7 . 3 6 )
îøq
2 2
( ) ( ) ùø
ïø
q ( t ) = e - r Å"t Å" Å"c o s h r 2 - É Å"t + Å" -
o
2
ïø úø
r 2 - É
ðø ûø
R ó w n a n i e ( 7 . 3 6 ) o p i s u j e r u c h m a s y , k t ó r y j e s t r u c h e m a p e r i o d y c z n y m , t o z n a c z y n i e w y s t p u j
t u o s c y l a c j e . M a s a j e d n o r a z o w o w y t r c o n a z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j a s y m p t o t y c z n i e
z m i e r z a d o t e g o p o Bo |e n i a - r u c h z a n i k a z c z a s e m . K s z t a Bt p r z e b i e g u r o z w i z a n i a ( 7 . 3 6 ) w
z a l e |n o [c i o d w a r t o [c i s t a By c h q 0 i v 0 z i l u s t r o w a n o w p r z y k Ba d a c h .
P r z y k Ba d 7 . 4
W y z n a c z y r ó w n a n i a r u c h u u k Ba d u o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y , s c h a r a k t e r y z o w a n e g o w i e l k o [c i a m i :
N N Å"s e c
m = 5 0 Å"k g k = 9 0 0 Å" c = 5 0 0 Å"
m m
d l a n a s t p u j c y c h w a r t o [c i p a r a m e t r ó w p o c z t k o w y c h :
m m
a ) q o = 5 Å"c m v o = 0 . 8 Å" c ) q o = 0 v 0 = 0 . 8 Å"
s e c s e c
m
b ) q o = 5 Å"c m v o = 0
d ) q 0 = 5 Å"c m v 0 = - 0 . 8 Å"
s e c
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 3
R o z w i z a n i e :
k
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h É = É = 4 . 2 4 3 s - 1
m
c
W s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a r = r = 5 s - 1
2 Å"m
2
W i e l k o [ p o m o c n i c z a r 2 - É = 2 . 6 4 6 s - 1
P o u w z g l d n i e n i u w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h r ó w n a n i a r u c h u t y p u ( 7 . 3 6 ) p r z y b i o r p o s t a
îø0 . 0 5 Å"c o s h ( 2 . 6 4 6 Å"t ) + ( 1 0 Å"0 . 0 5 + 0 . 8 ) ùø
q a ( t ) = e - 5 Å"t Å" Å"s i n h ( 2 . 6 4 6 Å"t )
ïø úø
2 . 6 4 6
ðø ûø
ëø0 . 0 5 Å"c o s h ( 2 . 6 4 6 Å"t ) + 1 0 Å"0 . 0 5 öø
q b ( t ) = e - 5 Å"t Å" Å"s i n h ( 2 . 6 4 6 Å"t )
ìø ÷ø
2 . 6 4 6
íø øø
0 . 8
ëø
q c ( t ) = e - 5 Å"t Å"
ìø2 . 6 4 6 Å"s i n h ( 2 . 6 4 6 Å"t ) öø
÷ø
íø øø
îø0 . 0 5 Å"c o s h ( 2 . 6 4 6 Å"t ) + ( 1 0 Å"0 . 0 5 - 0 . 9 ) ùø
q d ( t ) = e - 5 Å"t Å" Å"s i n h ( 2 . 6 4 6 Å"t )
ïø úø
2 . 6 4 6
ðø ûø
W y k r e s y p r z e b i e g ó w d r g a D
0 . 1
0 . 0 5
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6
0 . 0 5
P r z y p a d e k a
P r z y p a d e k b
P r z y p a d e k c
P r z y p a d e k d
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 4
P r z y p a d e k 2 - t Bu m i e n i e k r y t y c z n e
T Bu m i e n i e w u k Ba d z i e r ó w n i e | o s i g a d u |e w a r t o [c i , w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a p r z y b i e r a s z c z e g ó l n
É
w a r t o [ r = . W t a k i m p r z y p a d k u r ó w n a n i e o p i s u j c e r u c h w y g l d a n a s t p u j c o :
q ( t ) = e - r Å"t Å" + r Å"q o + v o Å"t ( 7 . 3 7 )
( ) ûø
îøq o ùø
ðø
P r z e a n a l i z u j e m y p e w n e p r z y p a d k i s z c z e g ó l n e .
D l a q o > 0 o r a z v o = 0 r ó w n a n i e r u c h u p r z y b i e r a f o r m
q ( t ) = q o Å"e - r Å"t Å"( 1 + r Å"t ) ( 7 . 3 8 )
W i d a z n i e g o , |e z a w s z e b d z i e q ( t ) > 0 a p o n a d t o d l a b d z i e q ( t ) Ò! 0
t Ò! "
O z n a c z a t o , i | c i a Bo w y c h y l o n e z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i i p u s z c z o n e b e z p r d k o [c i p o c z t k o w e j
b d z i e z d |a B d o p o Bo |e n i a r ó w n a w a g i z p r d k o [c i u j e m n s t a l e m a l e j c c o d o w a r t o [c i
b e z w g l d n e j , g d y |
d q ( t ) t
v ( t ) = = - r 2 Å"q o Å"e - r Å"t Å"t = - r 2 Å"q o Å" ( 7 . 3 9 )
d t
e r Å"t
P r z y k Ba d 7 . 5
I l u s t r a c j a p r z y k Ba d o w e g o w y k r e s u r u c h u q ( t ) = 2 Å"e - 5 Å"t Å"( 1 + 5 Å"t )
3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5
C z a s t
D l a q o = 0 o r a z v o > 0 r ó w n a n i e r u c h u p r z y b i e r a f o r m
q ( t ) = e - r Å"t Å"v o Å"t ( 7 . 4 0 )
C i a Bo w t y m p r z y p a d k u o s i g n i e m a k s y m a l n e w y c h y l e n i e w c h w i l i , g d y p r d k o [ s t a n i e s i r ó w n a 0
d q ( t )
v ( t ) = = v o Å"e - r Å"t Å"( 1 - r Å"t ) ( 7 . 4 1 )
d t
ëøt 1 1 öø
( v ( t ) = 0 ) Ô! = ( 7 . 4 2 )
ìø ÷ø
r
íø øø
W a r t o [ m a k s y m a l n e g o w y c h y l e n i a
v o
ëø1 öø
q m a x = q t 1 = q
( )
ìør ÷ø=
( 7 . 4 3 )
r Å"e
íø øø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
W y c h y l e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 5
P r z y k Ba d 7 . 6
1
I l u s t r a c j a p r z y k Ba d o w e g o w y k r e s u r u c h u q ( t ) = e - 5 Å"t Å"2 8 Å"t t 1 =
5
3
2 . 5
t 1
2
1 . 5
1
0 . 5
0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5
C z a s t
2 8
M a k s y m a l n e w y c h y l e n i e = 2 . 0 6
5 Å"e
D l a q o > 0 o r a z v o > 0 r ó w n a n i e r u c h u w g ( 7 . 3 7 ) , s t d r ó w n a n i e o p i s u j c e p r d k o [
d q ( t )
îøv o t Å" ûø ( 7 . 4 4 )
v ( t ) = = e - r t Å" - ( r 2 Å"q o + r Å"v o ) ùø
ðø
d t
W a r t o [ z e r o w p r z y j m u j e o n a d l a c h w i l i
v o
t 1 =
( 7 . 4 5 )
r 2 Å"q o + r Å"v o
M a k s y m a l n e w y c h y l e n i e
- v o
r Å"q o + v o
ëøq v o öø
q m a x = q t 1 = e Å" + ( 7 . 4 6 )
( ) ìø ÷ø
o
r
íø øø
d q ( t )
ëød Å"q ( t ) öøÒ! 0
W i d a z ( 7 . 4 4 ) , |e p o c z a s i e t 1 w g ( 7 . 4 5 ) b d z i e < 0 a l e d l a t Ò! " b d z i e
ìø ÷ø
d t d Å"t
íø øø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
W y c h y l e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 6
P r z y k Ba d 7 . 7
I l u s t r a c j a p r z y k Ba d o w e g o w y k r e s u r u c h u q ( t ) = e - 5 Å"t Å"[ 1 . 2 + ( 5 Å"1 . 2 + 2 8 ) Å"t ]
2 8
C z a s o s i g n i c i a m a k s y m a l n e g o w y c h y l e n i a t 1 = t 1 = 0 . 1 6 5
5 2 Å"1 . 2 + 5 Å"2 8
3
2 . 5
t 1
2
1 . 5
1
0 . 5
0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5
C z a s t
- 2 8
ëø1 . 2 2 8 öø
M a k s y m a l n e w y c h y l e n i e e 5 Å"1 . 2 + 2 8 Å" +
ìø ÷ø= 2 . 9 8 4
5
íø øø
J e [l i q o > 0 o r a z v o < 0 m o |l i w e s d w i e p o s t a c i r o z w i z a n i a .
O g ó l n e r o z w i z a n i e d a n e j e s t r ó w n a n i e m ( 7 . 3 7 ) . Z u w a g i j e d n a k n a u j e m n w a r t o [ p o c z t k o w e j
p r d k o [c i m o |l i w e j e s t o s i g n i c i e p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i . W y s t p u j e t o w c h w i l i t 1 g d y
- q o
q o + r Å"q o + v o Å"t 1 = 0 Ò! t 1 = g d z i e v o < 0 ( 7 . 4 7 )
( )
r Å"q o + v o
( )
P o n i e w a | z f i z y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a w y m a g a n e j e s t a b y c z a s 1 t o m u s i z a c h o d z i
t > 0
r Å"q o + v o < 0 c z y l i - v o > r Å"q o ( 7 . 4 8 )
W p r z e c i w n y m p r z y p a d k u p o Bo |e n i e r ó w n o w a g i n i e z o s t a n i e o s i g n i t e , c i a Bo b d z i e z b l i |a s i d o
n i e g o a s y m p t o t y c z n i e . N a p o d s t a w i e z a l e |n o [c i ( 7 . 4 4 ) m o |n a w p r z y p a d k u d o s t a t e c z n i e d u |e j
p r d k o [c i p o c z t k o w e j w y z n a c z y c z a s , p o k t ó r y m c i a Bo o s i g n i e m a k s y m a l n e w y c h y l e n i e w k i e r u n k u
u j e m n y m
v o
t 2 =
( 7 . 4 9 )
r 2 Å"q o + r Å"v o
T o m a k s y m a l n e w y c h y l e n i e o k r e [l o n e j e s t z a l e |n o [c i ( 7 . 4 6 ) , z t y m t y l k o |e o
v < 0
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
W y c h y l e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 7
P r z y k Ba d 7 . 8
I l u s t r a c j a p r z y k Ba d o w e g o w y k r e s u r u c h u q ( t ) = e - 5 Å"t Å"[ 3 + ( 3 Å"5 - 3 8 ) Å"t ]
- 3
C z a s o c i g n i c i e p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i t 1 = t 1 = 0 . 1 3
5 Å"3 - 3 8
- 3 8
C z a s o s i g n i c i a m a k s y m a l n e g o w y c h y l e n i a t 2 = t 2 = 0 . 3 3
5 2 Å"3 + 5 Å"( - 3 8 )
W y k r e s r u c h u d l a p r d k o [c i v o < r Å"q o q 2 ( t ) = e - 5 Å"t Å"[ 3 + ( 3 Å"5 - 8 ) Å"t ]
4
t 1 t 2
3
2
1
0 0 . 2 5 0 . 5 0 . 7 5 1 1 . 2 5 1 . 5
1
C z a s t
3 8
ëø3 - 3 8 öø
M a k s y m a l n e w y c h y l e n i e e 5 Å"3 - 3 8 Å" +
ìø ÷ø= - 0 . 8 8 2
5
íø øø
P r z y p a d e k 3 - t Bu m i e n i e p o d k r y t y c z n e
2
W t y m p r z y p a d k u z a c h o d z i z a l e |n o [ w ó w c z a s r u c h m a s y o p i s u j e r ó w n a n i e
r 2 < É
r Å"q o + v o
( ) s i n É - r 2 Å"t úø ( 7 . 5 0 )
îøq
2 2
( ) ( ) ùø
ïø
q ( t ) = e - r Å"t Å" Å"c o s É - r 2 Å"t + Å"
o
2
ïø úø
É - r 2
ðø ûø
2
P o w y |s z y z a p i s m o |n a u p r o [c i w p r o w a d z a j c o z n a c z e n i e ( 7 . 5 1 )
Éd = É - r 2
r Å"q o + v o
( ) s i n Éd Å"t
îøq
q ( t ) = e - r Å"t Å" Å"c o s Éd Å"t + Å" ( 7 . 5 2 )
( ) ( ) ùø
o
ïø úø
Éd
ðø ûø
W i e l k o [ o p i s a n a z a l e |n o [c i ( 7 . 5 1 ) n a z y w a n a j e s t c z s t o [c i d r g a D t Bu m i o n y c h . O k r e s t y c h
d r g a D w y n i e s i e w i c
2 À 2 À
T d = = ( 7 . 5 3 )
Éd 2
É - r 2
R u c h o p i s a n y r ó w n a n i e m ( 7 . 5 2 ) j e s t q u a s i - h a r m o n i c z n y m r u c h e m z a n i k a j c y m , m o d u l o w a n y m
f u n k c j w y k Ba d n i c z . R o z w i z a n i e m a p r z e b i e g o s c y l a c y j n y , n i e m n i e j f u n k c j a t a n i e j e s t f u n k c j
o k r e s o w w p e Bn y m t e g o s Bo w a z n a c z e n i u . Z a l e |n o [ ( 7 . 5 2 ) m o |n a r ó w n i e | z a p i s a w f o r m i e
z w i n i t e j :
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
W y c h y l e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 8
q ( t ) = A Å"e - r Å"t Å"s i n Éd Å"t + Õ ( 7 . 5 4 )
( )
q o Å"Éd
Å"r + v o 2
ëøq o öø
g d z i e A = q o 2 + t a n Õ = ( 7 . 5 5 )
ìø ÷ø
q o Å"r + v o
Éd
íø øø
A m p l i t u d y p r z e m i e s z c z e D b d s i z a w i e r a By m i d z y l i n i a m i
- A Å"e - r Å"t d" a m p ( q ) d" A Å"e - r Å"t
R o z p a t r z m y s t o s u n e k d w ó c h k o l e j n y c h w y c h y l e D w t s a m s t r o n r ó |n i c y c h s i w c z a s i e o o k r e s
A Å"e - r Å"t Å"s i n Éd Å"t + Õ
( )
r Å"T d
q ( t )
=
( 7 . 5 6 )
( ) s i n t + T d + Õ = e
q t + T d - r Å"t + T d
( )
A Å"e Å"
îø ( ) ùø
ðøÉd Å" ûø
L o g a r y t m n a t u r a n y t e g o s t o s u n k u w y c h y l e D n a z y w a n y j e s t l o g a r y t m i c z n y m d e k r e m e n t e m t Bu m i e n i a
r Å"T d
q ( t )
ëø öø
( )
" = l n ( 7 . 5 7 )
ìøq t + T d = l n e = r Å"T d
( ) ÷ø
íø øø
J e g o w a r t o [ m o |n a w y z n a c z y d o [w i a d c z a l n i e , d r o g p o m i a r u d w ó c h k o l e j n y c h a m p l i t u d
p r z e m i e s z c z e D t e g o s a m e g o z n a k u .
A n
ëø öø
" = l n ( 7 . 5 8 )
ìøA + 1 ÷ø
n
íø øø
L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a m o |e b y c w i c m i a r z d o l n o [c i t Bu m i e n i a d r g a D p r z e z
k o n s t r u k c j . N i e j e s t o n s t a B m a t e r i a Bo w , l e c z w i e l k o [c i z w i z a n z u s t r o j e m . Z w i z a n y j e s t
z e w s p ó Bc z y n n i k i e m t Bu m i e n i a n a s t p u j c y m i z a l e |n o [c i a m i :
"Å"Éd "Å" É2 r 2
" -
r = = = ( 7 . 5 9 )
T d
2 À 2 À
W y z n a c z a j c z p o w y |s z e g o w s p ó Bc z y n n i k r o t r z y m u j e s i
"Å"É
r = ( 7 . 6 0 )
2 2
4 À + "
Z e w z g l d u n a t o , i | w t y p o w y c h u s t r o j a c h w y s t p u j c y c h w z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i b u d o w l i
w a r t o [ l o g a r y t m i c z n e g o d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a j e s t z n a c z n i e m n i e j s z a o d j e d n o [c i w y r a |e n i e ( 7 . 6 0 )
m o |e z o s t a u p r o s z c z o n e d o p o s t a c i
ëø"Å"Éöø
r H" ( 7 . 6 1 )
ìø2 À÷ø
íø øø
Z a m i a s t w y m i a r o w e g o w s p ó Bc z y n n i k a t Bu m i e n i a r s t o s o w a n y b y w a r ó w n i e | b e z w y m i a r o w y
w s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a o k r e [l o n y z a l e |n o [c i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 9
c r
¾ = = ( 7 . 6 2 )
c k r
É
g d z i e c k r j e s t k r y t y c z n y m p a r a m e t r e m t Bu m i k a w i s k o t y c z n e g o w y z n a c z a j c y m g r a n i c m i d z y
t Bu m i e n i e m n a d i p o d k r y t y c z n y m , o d p o w i a d a j c y w i c t Bu m i e n i u k r y t y c z n e m u . W y z n a c z a s i
g o z z a l e |n o [c i ( 7 . 3 2 )
c k r
r k r = = É s t d c k r = 2 Å"m Å"É = 2 k Å"m ( 7 . 6 3 )
2 Å"m
Z a p o m o c b e z w y m i a r o w e g o w s p ó Bc z y n n i k a t Bu m i e n i a m o |n a o p i s a w s z y s t k i e p a r a m e t r y
t Bu m i o n e g o u k Ba d u d r g a j c e g o
2
c
ëø öø
ìø2 Å"m ÷ø
r 2
2
Éd = ÉÅ" 1 - = ÉÅ" 1 - = ÉÅ" 1 - ¾ ( 7 . 6 4 )
ìø ÷ø
2 c
É
ìø2 Å"k r ÷ø
m
íø øø
2 À
T d = ( 7 . 6 5 )
2
ÉÅ" 1 - ¾
¾Å"2 À
( 7 . 6 6 )
" =
2
1 - ¾
P r z y k Ba d 7 . 9
W y z n a c z y o d p o w i e d z t Bu m i o n e g o u k Ba d u d r g a j c e g o , p r z y n a s t e p u j c y c h w a r u n k a c h p o c z t k o w y c h :
m
q o = 1 4 Å"c m v o = 1 8 Å"
s e c
N N Å"s e c
P a r a m e t r y c h a r a k t e r y z u j c e u k Ba d m = 8 0 Å"k g k = 1 0 5 Å" c = 4 0 0 Å"
m m
R o z w i z a n i e
k
C z s t o [ d r g a D w Ba s y c h É = É = 3 5 . 3 5 5 s - 1
m
c
W s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a r = r = 2 . 5 s - 1
2 Å"m
2
C z s t o [ d r g a D t Bu m i o n y c h Éd = É - r 2 Éd = 3 5 . 2 6 7 s - 1
Å"r + v o 2
ëøq o öø
S t a Be z w i z a n e z w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i A = 0 . 5 3 9 m
A = q o 2 +
ìø ÷ø
Éd
íø øø
q o Å"Éd
ëø öø
Õ = a t a n Õ = 0 . 2 6 3
ìøq Å"r + v o ÷ø
o
íø øø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 0
R ó w n a n i e r u c h u u k Ba d u q ( t ) = 0 . 5 3 9 Å"e - 2 . 5 Å"t Å"s i n ( 3 5 . 2 6 7 Å"t + 0 . 2 6 3 )
0 . 6
0 . 3
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8
0 . 3
0 . 6
C z a s t
D o k Ba d n o [ w y z n a c z a n i a d o [w i a d c z a l n e g o w a r t o [c i p a r a m e t r ó w c h a r a k t e r y z y j c y c h t Bu m i e n i e
z a l e |y o d s t o p n i a d o k Ba d n o [c i p o m i a r u a m p l i t u d d r g a D. J e [l i t Bu m i e n i e , t a k j a k w p r z y p a d k u
u s t r o j ó w b u d o w l a n y c h n i e j e s t b a r d z o i n t e n s y w n e , s s i e d n i e a m p l i t u d y r ó |n i s i n i e z n a c z n i e .
Z t e g o p o w o d u c e l e m z w i k s z e n i a d o k Ba d n o [c i o b l i c z e D m o |n a p r z y w y z n a c z a n i u l o g a r y t m i c z n e g o
d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a k o r z y s t a z p o n i |s z e j z a l e |n o [c i :
A i
1 ëø öø
" = Å"l n ( 7 . 6 7 )
ìøA ÷ø
n
i + n
íø øø
g d z i e i o r a z i + n o z n a c z a j n u m e r y a m p l i t u d r ó |n i c y c h s i o i l o [ n c y k l i .
W y n i k a t o z n a s t p u j c e g o r o z u m o w a n i a . S t o s u n k i k o l e j n y c h a m p l i t u d w r u c h u t Bu m i o n y m
w i s k o t y c z n i e s j e d n a k o w e t z n . l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a m o |n a o b l i c z y z k a |d e j
z p o n i |s z y c h z a l e |n o [c i :
ëøA 0 öø ëøA 1 öø ëøA 2 öø
ëøA n - 1 öø
" = l n ( 7 . 6 8 )
ìøA ÷ø= l n ìøA ÷ø= l n ìøA ÷ø= . . . . = l n A n
ìø ÷ø
1 2 3
íø øø íø øø íø øø íø øø
g d z i e A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , . . . . , A n s k o l e j n y m i a m p l i t u d a m i w y c h y l e n i a
p r z e k s z t a Bc a j c r ó w n a n i e ( 7 . 6 8 ) o t r z y m u j e m y
A 0 A 1 A 2
A n - 1
e " = = = = . . . . = ( 7 . 6 9 )
A 1 A 2 A 3 A n
s t o s u n e k p i e r w s z e j i o s t a t n i e j m i e r z o n e j a m p l i t u d y m o |n a z a p i s a j a k n i |e j
A 0 A 0 A 1 A 2
A n - 1
= Å" Å" Å". . . . Å" ( 7 . 7 0 )
A n A 1 A 2 A 3 A n
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
P r z e m i e s z c z e n i e q ( t )
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 1
D o k o n u j c o b u s t r o n n e g o z l o g a r y t m o w a n i a w y r a |e n i a ( 7 . 7 0 ) , p r z y w y k o r z y s t a n i u z n a n y c h
w Ba s n o [c i l o g a r y t m ó w o t r z y m u j e m y z a l e |n o [
ëøA 0 öø ëøA 0 öø ëøA 1 öø ëøA 2 öø
ëøA n - 1 öø
l n ( 7 . 7 1 )
ìøA ÷ø= l n ìøA ÷ø+ l n ìøA ÷ø+ l n ìøA ÷ø+ . . . . + l n A n
ìø ÷ø
n 1 2 3
íø øø íø øø íø øø íø øø íø øø
N a m o c y r ó w n o [c i ( 7 . 6 8 ) u z y s k u j e m y
ëøA 0 öø
l n ( 7 . 7 2 )
ìøA ÷ø= n Å""
n
íø øø
S t d o s t a t e c z n i e m o |n a z a p i s a
1 ëøA 0 öø
( 7 . 7 3 )
" = Å"l n
ìøA ÷ø
n
n
íø øø
A m p l i t u d a s t a r t o w a , o d k t ó r e j z a c z y n a m y p o m i a r n i e m u s i b y k o n i e c z n i e f a k t y c z n i e p i e r w s z
o d p o c z t k u d r g a D, t y l k o k a |d d o w o l n . S t d o t r z y m u j e m y w z ó r ( 7 . 6 7 )
P r z y k Ba d 7 . 1 0
W a r t o [c i k o l e j n y c h a m p l i t u d t e g o s a m e g o z n a k u w y z n a c z o n e p o d c z a s p o m i a r ó w w y n o s z
A 4 = 3 5 . 4 Å"m m A 5 = 3 2 . 3 Å"m m
P o m i e r z o n y o k r e s d r g a D w y n o s i T d = 0 . 1 1 Å"s e c
W y z n a c z y p a r a m e t r y t Bu m i e n i a u k Ba d u i p o r ó w n a z w a r t o [c i a m i w Ba s n y m i .
R o z w i z a n i e
ëøA 4 öø
L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a " = l n " = 0 . 0 9 2
ìøA ÷ø
5
íø øø
"
W s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a r = r = 0 . 8 3 3 s - 1
T d
2 Å"À
C z s t o [ d r g a D t Bu m i o n y c h Éd = Éd = 5 7 . 1 2 s - 1
T d
2
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h É = Éd + r 2 É = 5 7 . 1 2 6 s - 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 2
P r z y k Ba d 7 . 1 1
W y z n a c z y l o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a j e [l i p o d c z a s p o m i a r ó w w c z a s i e 1 8 . 5 s
z a r e j e s t r o w a n o 1 1 p e Bn y c h c y k l i d r g a D, a a m p l i t u d y t e g o s a m e g o z n a k u n a p o c z t k u i k o Dc u
p o m i a r u w y n o s i By o d p o w i e d n i o 2 6 . 3 m m i 1 8 . 5 m m .
R o z w i z a n i e
1 8 . 5 Å"s e c
O k r e s d r g a D t Bu m i o n y c h T d = T d = 1 . 6 8 2 s
1 1
1
ëø2 6 . 3 öø
L o g a r y t m i c z n y d e k r e m e n t t Bu m i e n i a " = Å"l n " = 0 . 0 3 9
ìø1 8 . 5 ÷ø
9
íø øø
P r z y k Ba d 7 . 1 2
N a b e l c e s t a l o w e j u s t a w i o n o m a s z y n . W y z n a c z y c z s t o [ i o k r e s d r g a D w Ba s n y c h u k Ba d u
o r a z d r g a D s w o b o d n y c h t Bu m i o n y c h o k r e [l o n y c h w a r t o [c i l o g a r y t m i c z n e g o d e k r e m e n t u t Bu m i e n i a .
D a n e :
- p a r a m e t r y s z t y w n o [c i b e l k i w s p o r c z e j
m
E I
E = 2 0 5 Å"G P a I = 8 0 . 1 Å"c m 4
- m a s a m a s z y n y m = 8 0 0 Å"k g
q
L / 2 L / 2
- w y m i a r y g e o m e t r y c z n e L = 3 2 0 Å"c m
- d e k r e m e n t t Bu m i e n i a " = 0 . 1 9
R o z w i z a n i e :
4 8 Å"E Å"I N
S z t y w n o [ b e l k i
k b = k b = 2 4 0 5 3 4 . 6 6 8
m
L 3
k b
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h É = É = 1 7 . 3 4 s - 1
m
2 À
O k r e s d r g a D w Ba s n y c h T = T = 0 . 3 6 2 s
É
"Å"É
W s p ó Bc z y n n i k t Bu m i e n i a r = r = 0 . 5 2 4 s - 1
2 2
4 À + "
2
C z s t o [ d r g a D t Bu m i o n y c h Éd = É - r 2 Éd = 1 7 . 3 3 2 s - 1
2 À
O k r e s d r g a D t Bu m i o n y c h T d = T d = 0 . 3 6 3 s
Éd
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
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