��Sze[cienne funkcje sklejane. PrzykBad (1)
�� �� �� ��
zi zi+�1 yi+�1 zi+�1hi �� yi zihi
��
Si (x) =� (xi+�1 -� x)3 +� (x -� xi )3 +� -�
�� ��(x -� xi ) +� �� hi -� 6 ��
�� ��(xi+�1 -� x)
6hi 6hi hi 6
�� �� �� ��
S1(x) =� 0.186566(x -� 3)3 +�1.666667(4.5 -� x) +� 0.246894(x -� 3)
S2(x) =� 0.111939(7 -� x)3 -� 0.102205(x -� 4.5)3 -� 0.299621(7 -� x) +�1.638783(x -� 4.5)
S3(x) =� -�0.127757(9 -� x)3 +�1.761027(9 -� x) +� 0.25 (x -� 7)
Funkcje sklejane trzeciego stopnia
3
xi yi
3.0 2.5
2
4.5 1.0
1
7.0 2.5
9.0 0.5
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sze[cienne funkcje sklejane. Algorytm
input n, (xi), (yi)
Algorytm jest wariantem metody
for i = 0 to n-�1 do
eliminacji Gaussa. Wyb�r element�w
hi �� xi+1-� xi
gB�wnych nie jest tutaj potrzebny.
bi �� 6 (yi+1-� yi) / hi
Mo|na wykaza, |e elementy na
end do
gB�wnej przektnej s zawsze r�|ne
u1 �� 2 (h0-� h1)
od zera.
v1 �� b1-� b0
for i = 2 to n-�1 do
ui �� 2(hi-�1 +� hi ) -� hi2 /ui-�1
-�1
vi �� bi-� bi-1 -� hi-1 vi-1 / ui-1
end do
zn �� 0
for i = n-�1 to 1 step -�1 do
zi �� (vi-� hi zi+1) / ui
Uwaga:
end do
Warto[ci ui, vi obliczane dla i > 1 nie s
z0 �� 0
identyczne z wystpujcymi w ukBadzie
output k, (xi )
r�wnaD.
Funkcja interp1
yi = interp1 (x, y, xi) na podstawie wektora wzB�w x oraz wektora warto[ci y
w wzBach interpoluje warto[ci yi w punktach xi (xi jest
liczb albo wektorem).
yi = interp1 (x, y, xi, method) na podstawie wektora wzB�w x oraz wektora
warto[ci y interpoluje warto[ci yi w punktach xi
u|ywajc r�|nych metod (xi jest liczb albo
wektorem).
method metoda interpolacji
��linear�� interpolacja liniowa (domy[lna)
��spline�� interpolacja sze[ciennymi funkcjami sklejanymi
��pchip�� przedziaBowa interpolacja Hermita wielomianami
sze[ciennymi
interp2 interpolacja funkcji dw�ch zmiennych
Poza wBasnymi funkcjami Matlab dodatkowo posiada
Curve Fitting Toolbox oraz Spline Toolbox.
Aproksymacja [redniokwadratowa lini prost (1)
x1, x2, ..., xn
Chcemy dopasowa do tych danych do[wiadczalnych
Mamy
y1, y2, ..., yn
lini prost
g(x) =� ax +� b
Kryterium
n
zle dziaBa
min
i
��(y -� axi-�b)
a,b
i=�1
n
min yi -� axi-�b zle dziaBa
��
a,b
i=�1
n
min
i
��(y -� axi-�b)2
a,b
i=�1
Aproksymacja [redniokwadratowa lini prost (2)
x1, x2, ..., xn
Chcemy dopasowa do tych danych do[wiadczalnych
Mamy
y1, y2, ..., yn
lini prost
g(x) =� ax +� b
n n
Sr (a,b) =�
i i
��(y -� g(xi))2 =���(y -� axi-�b)2
i=�1 i=�1
n n n
�� �� �� ��
2
��
minSr (a,b) i i i
Kryterium ��x �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b
a,b
�� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
n n n
�� ��
��Sr
��
=� -�2
i i i
��(y -� axi -� b)xi =� 0 ��x �� +� nb =� ��y
�� ��a
��a
i=�1 �� i=�1 �� i=�1
n
��Sr
=� -�2
i
��(y -� axi -� b) =� 0
n n n
��b
i=�1
n yi
i i
��x yi -���x ��
i=�1 i=�1 i=�1
a =�
2
n n n
n n
�� ��
2
2
i i i n
��y xi -���ax -���bx =� 0
i i
��x -� ����x ��
�� ��
i=�1 i=�1 i=�1
i=�1 �� i=�1 ��
n n n
n n
1 1
i i
��y -���ax -���b =� 0
b =� yi -� a
i
�� ��x
i=�1 i=�1 i=�1 n n
i=�1 i=�1
Aproksymacja [redniokwadratowa lini prost . BBd.
n
Reprezentuje kwadraty pionowych odlegBo[ci
Sr =�
i
��(y -� axi-�b)2
pomidzy zmierzonymi danymi i lini prost.
i=�1
Gdy (1) punkty s rozBo|one wzdBu| linii w odlegBo[ci podobnego rzdu oraz
(2) rozkBad punkt�w wok�B linii jest normalny to metoda najmniejszych
kwadrat�w daje najlepsze estymacje staBych a i b. Dodatkowo mo|emy
wyznaczy standardowy bBd estymacji jako
-� standardowy bBd estymacji (oszacowanie bBdu
Sr
dla przewidywanej warto[ci y odpowiadajcej
sy / x =�
n -� 2
szczeg�lnej warto[ci x)
n
n
1
wariancja
Niech St =�
i
��y
i
��(y -� y)2 gdzie y =� n
i=�1
i=�1
Wygodniejsze dla obliczeD komputerowych
n n n
St -� Sr
��
r =�
n yi ��
��x yi -� ����x ������
i i
�� ����
St
i=�1 �� i=�1 ���� i=�1 ��
r =�
22
n n n n
�� ��
r nazywa si wsp�Bczynnikiem korelacji. 2
n yi2 -� yi ��
��x -� ����x �� n�� ��
i i
�� �� ��
Dla idealnego dopasowania mamy r = 1.
i=�1 �� i=�1 �� i=�1 �� i=�1 ��
Aproksymacja [redniokwadratowa lini prost . PrzykBad (1).
n
i i i
��x yi -���x ��y =� 0.8392857
xi yi yi-axi-b
a =�
2
2
n
i
��x -�(���xi)�
1 0.5 0.1687
1
b =�
i i
��y -� a 1 ��x =� 0.07142857
2 2.5 0.5625
n n
3 2.0 0.3473
y =� 0.8392857x +� 0.07142857
4 4.0 0.3265
5 3.5 0.5696
Aproksymacja sredniokwadratowa y = ax + b
7
6 6.0 0.7972
6
7 5.5 0.1993
5
n =� 7
4
i
��x =� 28
3
yi =� 24
��
2
i
��x yi =�119.5
1
2
i
��x =�140
0
0 2 4 6 8
Aproksymacja [redniokwadratowa lini prost . PrzykBad (2).
n
Sr =� -� suma kwadrat�w odchyleD
i
��(y -� axi-�b)2 =� 2.9911
i=�1
n
1
y =�
-� warto[ [rednia
i
��y =� 24
n 7
i=�1
n
St =�
i
��(y -� y)2 =� 22.7142 -� wariancja
i=�1
St
-� odchylenie standardowe
sy =� =�1.9457
n -�1
Sr
-� standardowy bBd estymacji
sy / x =� =� 0.7735
n -� 2
St -� Sr
r =� =� 0.868 =� 0.932 -� wsp�Bczynnik korelacji
St
PrzeksztaBcenia funkcji nieliniowych
Funkcj nieliniow y = f (x) przeksztaBcamy do postaci w = av + b
Funkcja liniowa
Funkcja Podstawienie
a
1
y =� av +� b
y =� +� b v =�
x
x
1 a
1
b
w =�
w =� x +�
y =�
y
x +� a b b
w =� ln y
w =� lnb�� x +� lna
y =� abx
StaBa c nie jest
y =� c -� be-�ax w =� ln(c -� y) w =� -�ax +� lnb
aproksymowana
w =� ln y
y =� axb v =� ln x w =� bv +� lna
y
w =� ln
y =� axebx
w =� bx +� lna
x
c
c
y =�
w =� ax +� lnb
w =� ln�� -�1�� StaBa c nie jest
�� ��
aproksymowana
1+� beax
x
�� ��
v =� ln x
y =� aln x +� b y =� av +� b
PrzeksztaBcenia funkcji nieliniowych. PrzykBad
Funkcja w = 1.7517v - 0.6913
xi yi
2.5
y =� axb
1 0.5
2
ln y =� bln x +� lna
2 1.7
1.5
w =� ln y
3 3.4
1
v =� ln x
4 5.7
0.5
w =� bv +� lna
5 8.4
0
Funkcja y = 0.5009x1.7517
9
-0.5
8
-1
7
0 0.5 1 1.5
v = ln x
6
5
v = log (x);
4
w = log (y);
3
p = polyfit (v, w, 1);
a = 0.5009
2
b = p(1);
1
b = 1.7517
a = exp (p(2));
0
0 2 4 6
w = ln y
Aproksymacja [redniokwadratowa parabol
x1, x2, ..., xn
Chcemy dopasowa do tych danych do[wiadczalnych
Mamy
y1, y2, ..., yn
lini prost
g(x) =� ax2 +� bx +� c
n n
Sr (a,b,c) =�
i i
��(y -� g(xi))2 =���(y -� axi2 -� bxi -� c)2
i=�1 i=�1
Kryterium minSr (a,b,c)
a,b,c
Normalny ukBad r�wnaD:
n
��Sr
=� -�2
i
��(y -� axi2 -� bxi -� c)xi2 =� 0
��a
i=�1
n n n n
�� �� �� �� �� ��
4 3 2 2
n
��
��Sr
i i i i
��x �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b �� ��c
=� -�2
i
��(y -� axi2 -� bxi -� c)xi =� 0
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
��b
i=�1
n n n n
�� �� �� �� �� ��
n
3 2
��Sr
��
i i i i
��x �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi
=� -�2 �� ��a �� ��b �� ��c
i
��(y -� axi2 -� bxi -� c) =� 0
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
��c
i=�1
n n n
�� �� �� ��
2
��
i i i
��x �� +� ����x �� +� nc =� ��y
�� ��a �� ��b
�� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
Aproksymacja [redniokwadratowa parabol. PrzykBad (1)
n =� 6
979 255 55 a 2488.8
�� �� �� �� �� ��
xi yi
i
��x =�15 ��225 55 15�� ��b�� �� ��
=� 585.6
�� �� �� �� �� ��
0 2.1
yi =�152.6
��
�� �� ��
55 15 6
�� �� ��c�� �� 152.6 ��
�� �� ��
2
1 7.7
i
��x =� 55
a = 1.86071
2 13.6
3
i
��x =� 225
b = 2.35929
3 27.2
4
c = 2.47857
i
��x =� 979
4 40.9
y =�1.86071x2 +� 2.35929x +� 2.37857
i
��x yi =� 585.6
5 61.1
2
Standardowy bBd estymacji:
i
��x yi =� 2488.8
Sr
n n n n
�� �� �� �� �� ��
sy / x =� =�1.12
4 3 2 2
��
i i i i
��x �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi n -� (m +�1)
�� ��a �� ��b �� ��c
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
gdzie m stopieD wielomianu
n n n n
�� �� �� �� �� ��
3 2
��
aproksymujcego
i i i i
��x �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b �� ��c
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
St -� Sr
n n n
�� �� �� ��
2
r =� =� 0.99851=� 0.99925
��
i i i
��x �� +� ����x �� +� nc =� ��y
�� ��a �� ��b
St
�� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
Aproksymacja [redniokwadratowa parabol. PrzykBad (2)
y = 1.8607x2 + 2.3593x + 2.4786
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5
Wieloliniowa aproksymacja [redniokwadratowa
x11, x12, ..., x1n Chcemy dopasowa do tych danych do[wiadczalnych
Mamy
x21, x22, ..., x2n pBaszczyzn
g(x1, x2) =� ax1 +� bx2 +� c
y1, y2, ..., yn
n n
Sr (a,b,c) =�
i i
��(y -� g(x1i,x2i))2 =���(y -� ax1i -� bx2i -� c)2
i=�1 i=�1
Kryterium minSr (a,b,c)
a,b,c
n
n n n n
�� �� �� �� �� ��
��Sr
2
=� -�2 ��
i
��(y -� ax1i -� bx2i -� c)x1i =� 0
1i 1i 1i 1i
��x �� +� ����x x2i �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b �� ��c
��a
i=�1
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
n
��Sr n n n n
�� �� �� �� �� ��
2
=� -�2
i
��(y -� ax1i -� bx2i -� c)x2i =� 0 ��
1i 2i 2i 2i
��x x2i �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi
��b
�� ��a �� ��b �� ��c
i=�1
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
n
��Sr
n n n
�� �� �� ��
=� -�2
i
��(y -� ax1i -� bx2i -� c) =� 0
��
��c
1i 2i i
��x �� +� ����x �� +� nc =� ��y
i=�1 �� ��a �� ��b
�� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
Wieloliniowa aproksymacja [redniokwadratowa.
PrzykBad. (1)
x1i x2i yi
2
��
0 0 5
1i 1i 1i 1i
��x ��x x2i ��x �� ��a�� ����x yi ��
��
2
2 1 10
=�
1i 2i 2i �� �� ��
2i
����x x2i ��x ��x �� ��b�� ����x yi ��
�� ��
�� ��
��
2.5 2 9 n
1i 2i �� i
��x ��x ��c�� �� ��y ��
�� �� �� ��
1 3 0
4 6 3
76.25 48 16.5 a 243.5
�� �� �� �� �� ��
�� �� ��b�� �� ��
7 2 27
48 54 14 =� 100
�� �� �� �� �� ��
�� �� ��
16.5 14 6
�� �� ��c�� �� 54 ��
�� �� ��
n n n n
�� �� �� �� �� ��
2
��
1i 1i 1i 1i
��x �� +� ����x x2i �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b �� ��c
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
n n n n
�� �� �� �� �� �� a = 4
2
��
1i 2i 2i 2i
��x x2i �� +� ����x �� +� ����x �� =� ��x yi
�� ��a �� ��b �� ��c
b = -�3
�� i=�1 �� �� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
c = 5
n n n
�� �� �� ��
��
yi
1i 2i
��x �� +� ����x �� +� nc =� ��
�� ��a �� ��b
�� i=�1 �� �� i=�1 �� i=�1
Wieloliniowa aproksymacja [redniokwadratowa.
PrzykBad. (2)
Funkcja y = 4x1 - 3x2 + 5
40
30
20
10
0
-10
-20
6
8
4
6
4
2
2
0
0
Aproksymacja [redniokwadratowa nieliniowa
x1, x2, ..., xn
Chcemy dopasowa do tych danych do[wiadczalnych
Mamy
y1, y2, ..., yn
funkcj nieliniow g(x).
n
minSr (a,b)
Kryterium
Sr (a,b) =�
i
��(y -� g(xi))2
a,b
i=�1
x = lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata) dopasowuje funkcj nieliniow do danych
eksperymentalnych metod najmniejszych
kwadrat�w.
Algorytmy:
x = lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata, lb, ub)
trust region reflective
x = lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata, lb, ub, options)
Levenberga-Marquardta
[x, resnorm] = lsqcurvefit (...)
[x, resnorm, residual] = lsqcurvefit (...)
[x, resnorm, residual, exitflag] = lsqcurvefit (...)
lsqcurvefit jest elementem Optimization Toolbox (opis parametr�w nastpny slajd).
Parametry lsqcurvefit
[x, resnorm, residual, exitflag] = lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata, lb, ub, options)
fun funkcja aproksymujca y = f (x, xdata)
x wektor estymowanych parametr�w funkcji aproksymujcej
xdata wektor warto[ci do[wiadczalnych zmiennej niezale|nej
ydata wektor warto[ci do[wiadczalnych zmiennej zale|nej
x0 wektor warto[ci pocztkowych estymowanych parametr�w
lb wektor ograniczeD dolnych na estymowane parametry
ub wektor ograniczeD g�rnych na estymowane parametry
options struktura (tworzona przy pomocy funkcji optimset) przekazujca do
funkcji lsqcurvefit parametry optymalizacji
resnorm suma kwadrat�w r�|nic
residual wektor r�|nic f(x, xdata) ydata
exitflag warto[ opisujca warunki zakoDczenia obliczeD
1 znaleziono rozwizanie
2 zmiana x mniejsza ni| zadana dokBadno[
3 zmiana y mniejsza ni| zadana dokBadno[
4 wielko[ kierunku poszukiwaD mniejsza ni| zadana dokBadno[
0 osignito zadan liczb iteracji albo zadan liczb obliczeD
warto[ci funkcji
Aproksymacja [redniokwadratowa nieliniowa. PrzykBad
The vapor pressure of liquid 2,2,4-trimethyl pentane
120
2,2,4-trimetyl
R�wnanie Antoine a
pentan
100
B
ln p =� A +�
T P
t +� C
80
[��C] [kPa]
60
function lnp = Antoine (c,T)
-15.0 0.667
lnp = c(1) + c(2)./(T+c(3));
40
-4.3 1.333
20
A = 13.7 7.5 2.666
0
B = -2912.9
-20 0 20 40 60 80 100
20.7 5.333
temperature [C]
C = 221.5
29.1 8.000
t = [-15 -4.3 7.5 20.7 29.1 40.7 58.1 78 99.2];
40.7 13.33
p=[0.667 1.333 2.666 5.333 8.0 13.33 26.66 53.33 101.32];
58.1 26.66
lnp = log(p);
78.0 53.33
lo = [-Inf -Inf -Inf];
up = [Inf Inf Inf];
99.2 101.32
c0 = [15 -2000 20];
opcje = optimset ( Algorithm', 'levenberg-marquardt');
[c, resnorm, residual, exitflag] = lsqcurvefit (@Antoine, c0, t, lnp, lo, up, opcje);
pressure [kPa]
R�|niczkowanie numeryczne (1)
Czy znajc warto[ci funkcji f
w punktach x0, x1, ..., xn mo|emy
obliczy warto[ci pochodnej albo
caBki?
Zale|y od tego co wiemy o funkcji.
1
��
f (x) �� [ f (x +� h) -� f (x)]
h
Oszacujmy bBd przybli|enia
1
�� ���
f (x +� h) =� f (x) +� hf (x) +� h2 f (x�) gdzie x� ��(x, x +� h)
2
1 1
�� ���
f (x) =� [ f (x +� h) -� f (x)]-� hf (x�)
h 2
h �� 0 �� blad �� 0
BBd przybli|enia (obcicia)
Przybli|ona warto[ pochodnej
R�|niczkowanie numeryczne. PrzykBad 1.
Dla h = 0.01 znalez przybli|on warto[ pochodnej funkcji f (x) = cos x dla x = p�/4
i oszacowa bBd przybli|enia.
1 1
��
f (� / 4) �� [ f (� / 4 +� 0.01) -� f (� / 4)] =� (0.700000476-� 0.707106781=� -�0.71063051
)
0.01 0.01
1
���
h2 f (x�) =� 0.005 cos(x�) �� 0.005
2
Poniewa| x� �� (p�/4, p�/4+h) wic |cos p�/4| <� 0.707107. W konsekwencji
1
���
h2 f (x�) =� 0.005 cos(x�) �� 0.005��0.707107 =� 0.0035355
2
Prawdziwy bBd jest niewiele mniejszy:
Wydaje si, |e warto[ f '(x) ze wzoru
1 1
-�sin (� / 4) +� 0.71063051 =� 0.003523729
�� ���
f (x) =� [ f (x +� h) -� f (x)]-� hf (x�)
h 2
jest tym dokBadniejsza im mniejsze
jest h.
R�|niczkowanie numeryczne. PrzykBad 2a.
Sprawdzmy przypuszczenie z PrzykBadu 1.
x =� 2
Znalez przybli|on warto[ pochodnej funkcji f (x) = arctg x dla
i oszacowa bBd przybli|enia.
1 1
�� wic ��
f (x) =� f ( 2) =�
x2 +�1 3
h [f(x+h)-�f(x)]/h
2-�4 0.32374954
Najlepsza dokBadno[ f ' (3 cyfry znaczce)
2-�12 0.33325195
dla liczb zmiennopozycyjnych 32 bitowych
2-�20 0.31250000
2-�24 1.00000000
2-�26 0.00000000
Odejmujc bliskie wielko[ci tracimy tym wicej cyfr znaczcych im mniejsze jest h.
Redukcja liczby cyfr znaczcych uniemo|liwia uzyskanie dobrych przybli|eD
pochodnej dla maBych h.
R�|niczkowanie numeryczne (2)
Wezmy inny wz�r
1
��
f (x) �� [ f (x +� h) -� f (x -� h)]
2h
Oszacujmy bBd przybli|enia
1 1
�� ��� ����
f (x +� h) =� f (x) +� hf (x) +� h2 f (x) +� h3 f (x�+� )
2 3!
1 1
�� ��� ����
f (x -� h) =� f (x) -� hf (x) +� h2 f (x) -� h3 f (x�-�)
2 3!
Odejmujemy stronami
1 1
�� ���� ����
f (x) =� [ f (x +� h) -� f (x -� h)]-� h2[ f (x�-�) +� f (x�+� )]
2h 12
1
���� ���� ����
f (x�) =� [ f (x�-�) +� f (x�+�)]
Je|eli f ���� jest cigBa w (x -� h, x + h) to istnieje x� takie, |e
2
1 1
Std
�� ����
f (x) =� [ f (x +� h) -� f (x -� h)]-� h2[ f (x�)]
2h 6
BBd jest mniejszy ni| poprzednio bo h jest w wy|szej potdze.
Zatem przybli|enie jest dokBadniejsze.
R�|niczkowanie numeryczne. PrzykBad 2b.
x =� 2
Znalez przybli|on warto[ pochodnej funkcji f (x) = arctg x dla
i oszacowa bBd przybli|enia.
1 1
�� wic ��
f (x) =� f ( 2) =�
x2 +�1 3
Powtarzamy obliczenia z PrzykBadu 2a stosujc wz�r.
1 1
�� ����
f (x) =� [ f (x +� h) -� f (x -� h)]-� h2[ f (x�)]
2h 6
h [f(x+h)-�f(x)]/(2h)
2-�2 0.33719385
Najlepsza dokBadno[ f '
2-�10 0.33334351
(lepsza ni| w PrzykBadzie 2a)
2-�18 0.32812500
dla liczb zmiennopozycyjnych
2-�26 0.00000000
32 bitowych
Odejmujc bliskie wielko[ci zn�w tracimy tym wicej cyfr znaczcych im mniejsze
jest h.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad studport 8Wyklad studport 5Wyklad studport 11Wyklad studport 7Wyklad studport 12Wyklad studport 14Wyklad studport 4Wyklad 12 Podstawowe typy zwiazkow chemicznych blok s i p PCHN SKP studportWyklad 5 Uklad okresowy pierwiastkow studportWyklad 10 Elektrolity, woda, kwasy i zasady PCHN SKP studportWYKŁAD 4 Elektronowa struktura atomu studportSieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjaWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejwięcej podobnych podstron